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倒數伽瑪函數

(重定向自階乘倒數
Γ函數的倒數
Γ函數(藍色)、Γ函數的倒數(橘色)。
Γ函數的倒數的函數圖形
倒數伽瑪函數 1/Γ(z)色相環複變函數圖形

數學中,倒數伽瑪函數(英語:Reciprocal gamma function)是指伽瑪函數倒數

其中,Γ(z)代表伽瑪函數。由於伽瑪函數在整個複數平面上皆非零且為亚纯函数,因此其倒數是一個整函数

倒數伽瑪函數是一個1階整函數,其表示了log log |1/Γ(z)|的成長速度不會高過log |1/Γ(z)|。雖為1階整函數但屬無窮型,也就是說log |1/Γ(z)|的增長速度比任何|z|的倍數都快,因為它的增長與左手平面上的|z| log |z|大致成比例

由於倒數伽瑪函數不像伽瑪函數快速成長,在程式計算上較伽瑪函數容易,例如其泰勒級數[1],因此部分軟體使用倒數伽瑪函數作為計算伽瑪函數的起點,一些軟體除了計算伽瑪函數外,會額外提供倒數伽瑪函數。

魏爾斯特拉斯將倒數伽瑪函數稱為「factorielle」表示階乘的倒數,並用於魏尔施特拉斯分解定理的發展[2]

無窮乘積展開编辑

根據萊昂哈德·歐拉以及卡尔·魏尔斯特拉斯給出的伽瑪函數無窮乘積定義,可以推得倒數伽瑪函數即伽瑪函數之倒數的無窮乘積:

 

其中γ ≈ 0.577216...歐拉-馬斯刻若尼常數。這個乘積展開式對所有複數z都有效。

泰勒級數编辑

倒數伽瑪函數從零展開的泰勒級數為:

 

其中γ是歐拉-馬斯刻若尼常數。對n > 2的情形,其zn的系數an可郵遞迴定義求出[3]

 

其中ζ(s)代表黎曼ζ函數。2014年,Fekih-Ahmed發現這些係數可以用積分表示[1]

 

其前幾項的值為:

an的近似值為[1]

 

其中, 

 是分支為負一的朗伯W函数

漸近展開编辑

|z|arg(z)為一固定值的情形下趨於無窮,則有:

 

以圍線積分表示编辑

倒數伽瑪函數可使用圍線積分英语contour integration(contour integration[4])表示,此表示法由赫爾曼·漢克爾所提出,其為:

 

其中,H漢克爾圍線英语Hankel contour

階乘倒數编辑

階乘倒數是指階乘的倒數。其等於所有小於及等於該數的正整數之倒數的積:

 

其無窮級數收斂在e[5]

 

由於階乘可以用伽瑪函數來定義,因此階乘倒數也可以表示為:

 .

對於 的正整數,其階乘倒數可以用一個積分表示[6]

 .

同理,倒數伽瑪函數也可以用類似的方法表示。對所有的實數  ,我們可以寫出倒數伽瑪函數沿著實軸的積分表示式[7]

 

其中在 的特定情況下,則可獲得雙階乘的倒數與倒數伽瑪函數之關係:

 

積分编辑

將倒數伽瑪函數在實軸上從零積到無窮的瑕積分為:

 OEIS中的数列A058655

這個值又稱為弗朗桑-羅賓遜常數英语Fransén–Robinson_constant[8]

參見编辑

參考文獻编辑

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 Fekih-Ahmed, L. (2014). On the Power Series Expansion of the Reciprocal Gamma Function pdf (PDF). . HAL archives,
  2. ^ Hazewinkel, Michiel (编), Weierstrass theorem, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001 [1994], ISBN 978-1-55608-010-4 
  3. ^ Wrench, J.W. (1968). Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 22, 617–626. and
    Wrench, J.W. (1973). Erratum: Concerning two series for the gamma function. Mathematics of Computation, 27, 681–682.
  4. ^ 圍線積分 contour integration
  5. ^ Iwanami Sūgaku Jiten Fourth, Tokyo: Iwanami Shoten, 2007, ISBN 978-4-00-080309-0, MR 2383190 (日语)  142.D
  6. ^ Graham, Knuth, and Patashnik. Concrete Mathematics. Addison-Wesley. 1994: 566. 
  7. ^ Integral formula for  . Math Stack Exchange. 
  8. ^ Finch, S. R. "Fransén-Robinson Constant." §4.6 in Mathematical Constants. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 262-264, 2003.
  1. Thomas Schmelzer & Lloyd N. Trefethen, Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
  2. Mette Lund, An integral for the reciprocal Gamma function
  3. Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables
  4. Eric W. Weisstein, Gamma Function, MathWorld