隐马尔可夫模型

隐马尔可夫模型（英語：Hidden Markov Model；縮寫：HMM），或稱作隐性马尔可夫模型，是统计模型，用来描述一个含有隐含未知参数的马尔可夫过程。其难点是从可观察的参数中确定该过程的隐含参数。然后利用这些参数来作进一步的分析，例如模式识别。

在正常的马尔可夫模型中，状态对于观察者来说是直接可见的。这样状态的转换概率便是全部的参数。而在隐马尔可夫模型中，状态并不是直接可见的，但受状态影响的某些变量则是可见的。每一个状态在可能输出的符号上都有一概率分布。因此输出符号的序列能够透露出状态序列的一些信息。

隐马尔可夫模型在热力学、统计力学、物理学、化学、经济学、金融学、信号处理、信息论、模式识别（如语音识别、^[1]手写识别、手势识别、^[2]词性标记、乐谱跟随^[3]）、局部放电^[4]及生物信息学等领域都有应用。^[5]^[6]

定义编辑

令 $X_{n}$ 、 $Y_{n}$ 为离散时间随机过程， $n\geq 1$ 。则 $(X_{n},Y_{n})$ 是隐马尔可夫模型的条件是：

$X_{n}$ 是马尔可夫过程，其行为不可直接观测（“隐”）；
$\operatorname {\mathbf {P} } {\bigl (}Y_{n}\in A\ {\bigl |}\ X_{1}=x_{1},\ldots ,X_{n}=x_{n}{\bigr )}=\operatorname {\mathbf {P} } {\bigl (}Y_{n}\in A\ {\bigl |}\ X_{n}=x_{n}{\bigr )},$

\forall n\geq 1,\ x_{1},\ldots ,x_{n},

，且对每个博雷尔集

A

。

令 $X_{t}$ 、 $Y_{t}$ 为连续时间随机过程。则 $(X_{t},Y_{t})$ 是隐马尔可夫模型的条件是：

$X_{t}$ 是马尔可夫过程，其行为不可直接观测（“隐”）；
$\operatorname {\mathbf {P} } (Y_{t_{0}}\in A\mid \{X_{t}\in B_{t}\}_{t\leq t_{0}})=\operatorname {\mathbf {P} } (Y_{t_{0}}\in A\mid X_{t_{0}}\in B_{t_{0}})$ ,

\forall t_{0}

、每个博雷尔集

A,

且每族博雷尔集

\{B_{t}\}_{t\leq t_{0}}.

过程状态 $X_{n}$ （或 $X_{t}$ ）称作隐状态， $\operatorname {\mathbf {P} } {\bigl (}Y_{n}\in A\mid X_{n}=x_{n}{\bigr )}$ （或 $\operatorname {\mathbf {P} } {\bigl (}Y_{t}\in A\mid X_{t}\in B_{t}{\bigr )}$ ）称作条件概率或输出概率。

马尔可夫模型的演化编辑

下边的图示强调了HMM的状态变迁。有时，明确的表示出模型的演化也是有用的，我们用 x(t₁) 与 x(t₂) 来表达不同时刻 t₁ 和 t₂ 的状态。

圖中箭頭方向則表示不同資訊間的關聯性，因此可以得知 $x(t)$ 和 $x(t-1)$ 有關，而 $x(t-1)$ 又和 $x(t-2)$ 有關。

而每個 $y(t)$ 只和 $x(t)$ 有關，其中 $x(t)$ 我們稱為隱藏變數（hidden variable），是觀察者無法得知的變數。

隱性馬可夫模型常被用來解決有未知條件的數學問題。

假設隱藏狀態的值對應到的空間有 $N$ 個元素，也就是說在時間 $t$ 時，隱藏狀態會有 $N$ 種可能。

同樣的， $t+1$ 也會有 $N$ 種可能的值，所以從 $t$ 到 $t+1$ 間的關係會有 $N^{2}$ 種可能。

除了 $x(t)$ 間的關係外，每組 $x(t),y(t)$ 間也有對應的關係。

若觀察到的 $y(t)$ 有 $M$ 種可能的值，則从 $x(t)$ 到 $y(t)$ 的输出模型复杂度為 $O(NM)$ 。如果 $y(t)$ 是一个 $M$ 维的向量，则从 $x(t)$ 到 $y(t)$ 的输出模型复杂度為 $O(NM^{2})$ 。

Temporal evolution of a hidden Markov model

在这个图中,每一个时间块（x(t), y(t)）都可以向前或向后延伸。通常，时间的起点被设置为t=0 或 t=1.

马尔可夫模型的機率编辑

假設觀察到的結果為 $Y$

$Y=y(0),y(1),...,y(L-1)$

隱藏條件為 $X$

$X=x(0),x(1),...,x(L-1)$

長度為 $L$ ，則馬可夫模型的機率可以表達為：

$P(Y)=\sum _{X}P(Y\mid X)P(X)\,$

由這個機率模型來看，可以得知馬可夫模型將該時間點前後的資訊都納入考量。

使用隐马尔可夫模型编辑

HMM有三个典型(canonical)问题:

预测(filter)：已知模型参数和某一特定输出序列，求最后时刻各个隐含状态的概率分布，即求 $P(x(t)\ |\ y(1),\dots ,y(t))$ 。通常使用前向算法解决。
平滑(smoothing)：已知模型参数和某一特定输出序列，求中间时刻各个隐含状态的概率分布，即求 $P(x(k)\ |\ y(1),\dots ,y(t)),k<t$ 。通常使用前向-后向算法解决。
解码(most likely explanation)：已知模型参数，寻找最可能的能产生某一特定输出序列的隐含状态的序列，即求 $P([x(1)\dots x(t)]|[y(1)\dots ,y(t)])$ 。通常使用Viterbi算法解决。

此外，已知输出序列，寻找最可能的状态转移以及输出概率.通常使用Baum-Welch算法以及Viterbi algorithm（英语：Viterbi algorithm）解决。另外,最近的一些方法使用联结树算法（英语：Junction tree algorithm）来解决这三个问题。 ^{[來源請求]}

具体实例编辑

假设你有一个住得很远的朋友，他每天跟你打电话告诉你他那天做了什么。你的朋友仅仅对三种活动感兴趣：公园散步，购物以及清理房间。他选择做什么事情只凭天气。你对于他所住的地方的天气情况并不了解，但是你知道总的趋势。在他告诉你每天所做的事情基础上，你想要猜测他所在地的天气情况。

你认为天气的运行就像一个马尔可夫链。其有两个状态「雨」和「晴」，但是你无法直接观察它们，也就是说，它们对于你是隐藏的。每天，你的朋友有一定的概率进行下列活动：「散步」、「购物」、「清理」。因为你朋友告诉你他的活动，所以这些活动就是你的观察数据。这整个系统就是一个隐马尔可夫模型（HMM）。

你知道这个地区的总的天气趋势，并且平时知道你朋友会做的事情。也就是说这个隐马尔可夫模型的参数是已知的。你可以用程序语言（Python）写下来：

 states = ('Rainy', 'Sunny')
 
 observations = ('walk', 'shop', 'clean')
 
 start_probability = {'Rainy': 0.6, 'Sunny': 0.4}
 
 transition_probability = {
    'Rainy' : {'Rainy': 0.7, 'Sunny': 0.3},
    'Sunny' : {'Rainy': 0.4, 'Sunny': 0.6},
    }
 
 emission_probability = {
    'Rainy' : {'walk': 0.1, 'shop': 0.4, 'clean': 0.5},
    'Sunny' : {'walk': 0.6, 'shop': 0.3, 'clean': 0.1},
    }

在这些代码中,start_probability代表了你对于你朋友第一次给你打电话时的天气情况的不确定性（你知道的只是那个地方平均起来下雨多些）。在这里，这个特定的概率分布并非平衡的，平衡概率应该接近（在给定变迁概率的情况下）{'Rainy': 0.571, 'Sunny': 0.429}。 transition_probability 表示基于马尔可夫链模型的天气变迁，在这个例子中，如果今天下雨，那么明天天晴的概率只有30%。代码emission_probability 表示了你朋友每天做某件事的概率。如果下雨，有50% 的概率他在清理房间；如果天晴，则有60%的概率他在外头散步。

这个例子在维特比算法页上有更多的解释。

结构架构编辑

下图展示了实例化HMM的一般结构。椭圆形代表随机变量，可采用多个数值中的任意一种。随机变量 $x(t)$ 是t时刻的隐状态（图示模型中 $x(t)\in \{x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\}$ ）；随机变量y(t)是t时刻的观测值（ $y(t)\in \{x_{1},\ x_{2},\ x_{3},\ y_{4}\}$ ）；箭头表示条件依赖关系。

隐马尔可夫模型的时间演化

图中可清楚看出，给定隐变量 $x(t)$ 在时间t的条件概率分布只取决于隐变量 $x(t-1)$ 的值，之前的则没有影响，这就是所谓马尔可夫性质。观测变量 $y(t)$ 同理，只取决于隐变量 $x(t)$ 的值。

在本文所述标准HMM中，隐变量的状态空间是离散的，而观测值本身则可以离散（一般来自分类分布）也可以连续（一般来自正态分布）。HMM参数有两类：转移概率与输出概率，前者控制 $t-1$ 时刻的隐状态下，如何选择t时刻的隐状态。

隐状态空间一般假设包含N个可能值，以分类分布为模型。这意味着，对隐变量在t时刻可能所处的N种状态中的每种，都有到 $t+1$ 时刻可能的N种状态的转移概率，共有 $N^{2}$ 个转移概率。注意从任意给定状态转移的转移概率之和须为1。于是，转移概率构成了N阶方阵，称作马尔可夫矩阵。由于任何转移概率都可在已知其他概率的情形下确定，因此共有 $N(N-1)$ 个转移参数。

此外，对N种可能状态中的每种，都有一组输出概率，在给定隐状态下控制着观测变量的分布。这组概率的大小取决于观测变量的性质，例如，若观测变量是离散的，有M种值、遵循分类分布，则有 $M-1$ 个独立参数，所有隐状态下共有 $N(M-1)$ 个输出概率参数。若观测向量是M维向量，遵循任意多元正态分布，则将有M个参数控制均值， ${\frac {M(M+1)}{2}}$ 个参数控制协方差矩阵，共有 $N\left(M+{\frac {M(M+1)}{2}}\right)={\frac {NM(M+3)}{2}}=O(NM^{2})$ 个输出参数。（这时，除非M很小，否则限制观测向量各元素间协方差的性质可能更有用，例如假设各元素相互独立，或假设除固定多相邻元素外，其他元素相互独立。）

学习编辑

HMM的参数学习任务是指在给定输出序列或一组序列的情形下，找到一组最佳的状态转换和转移概率。任务通常是根据一组输出序列，得到HMM参数的最大似然估计值。目前还没有精确解这问题的可行算法，可用鲍姆-韦尔奇算法或Baldi–Chauvin算法高效地推导出局部最大似然。鲍姆-韦尔奇算法是最大期望算法的特例。

若将HMM用于时间序列预测，则更复杂的贝叶斯推理方法（如马尔可夫链蒙特卡洛采样法，MCMC采样法）已被证明在准确性和稳定性上都优于寻找单一的最大似然模型。^[7]由于MCMC带来了巨大的计算负担，在计算可扩展性也很重要时，也可采用贝叶斯推理的变分近似方法，如^[8]。事实上，近似变分推理的计算效率可与期望最大化相比，而精确度仅略逊于精确的MCMC型贝叶斯推理。