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向量分析中,雅可比矩阵是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵,其行列式称为雅可比行列式

代数几何中,代数曲线雅可比行列式表示雅可比簇:伴随该曲线的一个代數群,曲线可以嵌入其中。

它们全部都以普魯士数学家卡爾·雅可比命名。

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雅可比矩阵编辑

假設某函數從   映到  , 其雅可比矩阵是從    的線性映射,其重要意義在于它表現了一个多變數向量函數的最佳线性逼近。因此,雅可比矩阵类似于單變數函数的导数。 假设  是一个从   维欧氏空间映射到到   维欧氏空间的函数。这个函数由   个实函数组成:  。这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个   列的矩阵,這個矩陣就是所谓的雅可比矩阵:

 

此矩阵用符號表示为:

  ,或者 

这个矩阵的第  行是由梯度函数的转置  表示的

如果    中的一点,  点可微分,根據數學分析 是在这点的导数。在此情况下, 這個线性映射即   在点  附近的最优线性逼近,也就是說當  足夠靠近點  時,我們有

 

例子编辑

球坐标系到直角坐标系的转化由  函数给出︰ 

 
 
 

此坐标变换的雅可比矩阵是

 

  函数:

 
 
 
 

其雅可比矩阵为:

 

此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。

在动力系统中编辑

考虑形为  动力系统 。如果  ,那么  是一个驻点(又稱臨界點)。系统接近驻点时的行為跟  特征值相關。

雅可比行列式编辑

如果  ,那么  是从  维空间到  维空间的函数,且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵。于是我们可以取它的行列式,称为雅可比行列式

在某个给定点的雅可比行列式提供了  在接近该点时的表现的重要信息。例如,如果连续可微函数   点的雅可比行列式不是零,那么它在该点附近具有反函数。这称为反函数定理。更进一步,如果  点的雅可比行列式是正数,则   点的取向不变;如果是负数,则  的取向相反。而从雅可比行列式的绝对值,就可以知道函数   点的缩放因子;这就是它出现在换元积分法中的原因。

例子编辑

设有函数 ,其分量为:

 
 
 

则它的雅可比行列式为:

 

从中我们可以看到,当  同号时, 的取向相反;该函数处处具有反函数,除了在   时以外。

逆矩陣编辑

根據反函數定理,一個可逆函數(存在反函數的函數)的雅可比矩陣逆矩陣即為該函數的反函數雅可比矩陣。即,若函數  在點  的雅可比矩陣是連續且可逆的,則  在點  的某一鄰域內也是可逆的,且有

 

成立。相反,倘若雅可比行列式在某一個點不為零,那麽該函數在這個點的某一鄰域內可逆(存在反函數)。

一個多項式函數的可逆性與非經證明的雅可比猜想有關。其斷言,如果函數的雅可比行列式為一個非零實數(相當於其不存在複零點),則該函數可逆且其反函數也為一個多項式。

参看编辑

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