集合代数中,,或者代数,是指一种有序对,其中 集合 是由集合 的一些子集构成的一种集类,它满足 自身是它的元素,且对加法(有限并)封闭和乘法(有限交)及逆(余集)运算封闭。在这样的集类中,空集类似于 0,因为和它相加(并)的任何集合结果还是自身;全集相当于 1,因为和它相乘(并)的任何集合还是自身。

也可把满足上诉条件的集类称为代数

定义编辑

非空集类   若满足以下条件:

  1.  
  2.  (对有限并、有限交封闭);
  3.  (对补集运算封闭).

则称其为   上的一个代数[1]

或者可以把代数定义为有元素   和空集、对有限交(或有限并)和余集运算封闭的   的子集类[2],这两者是等价的。

性质编辑

无论从哪个定义出发,利用德摩根定律和集合交与并运算的分配律,都可列出代数具有如下性质:空集和全集是它的元素、对有限并和有限交封闭、对补集运算封闭、对差集运算封闭。

一个代数也一定是一个[3]。用可列不交并封闭一个代数,将得到一个σ-代数[2]:5,而后者是数学严格化测度论与概率论非常重要的一种集类。

其中用可列不交并封闭一个代数   得到的新集类定义是:

 

其他定义编辑

  •   幂集布尔代数子代数。在明确上下文时,亦称 F 为集合域。
  •   的元素称为,而   的元素称为复形

集合域在布尔代数的表示理论中扮演中心角色。所有布尔代数都可以被表示为集合域。

参见编辑

参考编辑

  1. ^ A.H.施利亚耶夫. 概率(第一卷)(修订和补充第三版). 高等教育出版社. : 134. ISBN 978-7-04-022059-9. 
  2. ^ 2.0 2.1 严加安. 测度论讲义. 科学出版社. : 4. ISBN 978-7-03-013409-7. 
  3. ^ 程士宏. 测度论与概率论基础. 北京大学出版社. : 5. ISBN 978-7-301-06345-3. 
  • Goldblatt, R., Algebraic Polymodal Logic: A Survey, Logic Journal of the IGPL, Volume 8, Issue 4, p. 393-450, July 2000
  • Goldblatt, R., Varieties of complex algebras, Annals of Pure and Applied Logic, 44, p. 173-242, 1989
  • Johnstone, Peter T. Stone spaces 3rd edition. Cambridge: Cambridge University Press. 1982. ISBN 0-521-33779-8. 
  • Naturman, C.A., Interior Algebras and Topology, Ph.D. thesis, University of Cape Town Department of Mathematics, 1991