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一個雙心五邊形,同時也屬於圓內接五邊形和圓外切五邊形。

幾何學中,雙心多邊形是指同時存在内切圆外接圓多邊形,換句話說即存在一個,能使該多邊形的每條邊與之相切;也存在另一個圓,能使該多邊形的頂點皆落在該圓上。

雙心多邊形是一個自身對偶多邊形,即其對偶多邊形為自己本身,且同時屬於圓內接多邊形圓外切多邊形。所有三角形和任意邊數的正多邊形都是雙心多邊形。另一方面,具有邊長不相等的矩形不是雙心多邊形,因為沒有可以與所有四個邊相切

雙心三角形编辑

所有三角形都同時擁有内切圆外切圓,因此所有三角形皆為雙心多邊形[1]。 在任意三角形中,皆可以找到內切圆半徑r外切圓半徑R,且它們存在下列等式:

 

其中,x表示內切圆圓心和外切圓圓心的距離,即內心和外心的距離[2]。這個等式可以視為歐拉三角形公式的其中一個版本。

雙心四邊形编辑

在所有四邊形中,並非所有四邊形都可以同時擁有内切圆外接圓,換句話說並非所有四邊形都是雙心多邊形,而同時擁有内切圆與外接圓的四邊形稱為雙心四邊形。

給定2個圓,其中一個圓位於另一個圓內時,假設大圓半徑為R、小圓半徑為r,若當中存在一個凸四邊形,滿足每條邊與小圓相切、且頂點皆位於大圓上時,則其滿足下列式子,反之亦然。[3][4][5]

 

其中,x為兩圓心之距離[2][6]。則這個四邊形為雙心四邊形。這種性質稱為Fuss定理[7]

邊數超過4的雙心多邊形编辑

令外接圓圓心為R、內切圓圓心為r、內心與外心距離為x、n為多邊形的邊數,更複雜的雙心多邊形通式為[8]

 
 
 

其中  

參見编辑

參考文獻编辑

  1. ^ Gorini, Catherine A., The Facts on File Geometry Handbook, Infobase Publishing: 17, 2009, ISBN 9780816073894 .
  2. ^ 2.0 2.1 Reiman, István, International Mathematical Olympiad: 1976-1990, Anthem Press: 170–171, 2005, ISBN 9781843312000 .
  3. ^ Dörrie, Heinrich. 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. New York: Dover. 1965: 188–193. ISBN 978-0-486-61348-2. 
  4. ^ Yiu, Paul, Euclidean Geometry, [1][永久失效連結], 1998, pp. 158-164.
  5. ^ Salazar, Juan Carlos, Fuss's Theorem, Mathematical Gazette, 2006,, 90 (July): 306–307 .
  6. ^ Davison, Charles, Subjects for mathematical essays, Macmillan and co., limited: 98, 1915 .
  7. ^ Dörrie, Heinrich, 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solution, Courier Dover Publications: 192, 1965, ISBN 9780486613482 .
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Poncelet's Porism." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PonceletsPorism.html

外部連結编辑