雙曲複數乘法表
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雙曲複數(英語:hyperbolic numbers或Split-complex number),是異於複數而對實數所做的推廣。
考慮數 ,其中 是實數,而量 不是實數,但 是實數。
選取 ,得到一般複數。取 的話,便得到雙曲複數。
定義雙曲複數的加法和乘法如下,使之符合交換律、結合律和分配律:
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對於 ,其共軛值 。對於任何雙曲複數 ,
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可見它是自同構的。
定義內積為 。若 ,說 (雙曲)正交。
雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積,即自身和其共軛值之乘積(閔可夫斯基範數):
- 。
這個範數非正定,其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變: 。
除了0之外,也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。
由此可見,雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為 ,其中 是實數。
雙曲複數的冪等元有:
列方程 。有四個解: 。
s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的基。 。
若將 表示成 ,雙曲複數的乘法可表示成 。因此,在這個基裏,雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。
共軛可表示為 ,範數 。