雙曲複數

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其他

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無窮大

雙曲複數乘法表
× 1 j
1 1 j
j j 1

雙曲複數(英語:hyperbolic numbersSplit-complex number),是異於複數而對實數所做的推廣。

定義编辑

考慮數 ,其中 實數,而量 不是實數,但 是實數。

選取 ,得到一般複數。取 的話,便得到雙曲複數。

定義雙曲複數的加法乘法如下,使之符合交換律結合律分配律

 
 

共軛、範數编辑

對於 ,其共軛值 。對於任何雙曲複數 

 
 
 

可見它是自同構的。

定義內積  。若  ,說 (雙曲)正交。

雙曲複數的平方範數就取自己和自己的內積,即自身和其共軛值之乘積(閔可夫斯基範數):

 

這個範數非正定,其Metric signature是(1,1)。它在乘法下不變: 

除法编辑

除了0之外,也不是每個雙曲複數都有乘法逆元。

 

由此可見,雙曲複數可逆若且唯若其平方範數非零。其形式均為 ,其中 是實數。

编辑

雙曲複數的冪等元有:

列方程 。有四個解: 

s和s^*都是不可逆的。它們可以作雙曲複數的 

若將 表示成 ,雙曲複數的乘法可表示成  。因此,在這個基裏,雙曲複數的加法和乘法和直和R⊕R同構。

共軛可表示為 ,範數 

幾何编辑

有閔可夫斯基內積的二維實向量空間稱為1+1閔可夫斯基空間,表示為R1,1。正如歐几里得平面R2的幾何學可以複數表示,閔可夫斯基空間的幾何學可以雙曲複數表示。

R,對於非零的 ,點集  雙曲線。左邊和右邊的會經過   稱為單位雙曲線。

共軛雙曲線是  ,會分別經過  。雙曲線和共軛雙曲線會被成直角的兩條漸近線   分開。

歐拉公式的相應版本是 

歷史编辑

1848年James Cockle提出了双复数。1882年威廉·金頓·克利福德以雙曲複數表示自旋和。

20世紀,雙曲複數成為描述狹義相對論勞侖茲變換的工具,因為不同參考系之間的速度變換可由雙曲旋轉表達。