有理映射

(重定向自雙有理等價

代數幾何中,有理映射是定義在概形的稠密開集上的態射。有理映射及由此引生的雙有理等價是古典代數幾何學的主要對象。

定義编辑

固定概形  。考慮所有的資料  ,其中   是稠密開集,而   是態射;這些資料代表了   上「部份定義」的態射,  代表   的定義域。定義下述等價關係:

 

此外,注意到稠密性保證   也是   中的稠密開集。當   不可約,則所有非空開集都是稠密的。若再假設   既約而  分離概形,則任一等價類有唯一一個定義域最大的代表元。

從概形   有理映射   是其中的一個等價類  

  是從     是從    的有理映射,則一般並不能定義其合成  。但是當   的像(對某個,因而對每個代表元  )在   中稠密時,對每個   的代表元    皆非空,此時可以定義  

同理,若    都是   上的概形,也可以類似地定義  -有理映射。

例子编辑

 整環,設   ,則從    的任何有理映射   有唯一的表法:

 

其中   是多項式。該有理映射可以在   上定義。

此外,對於不可約  -概形  ,其上的有理函數一一對應到從    的有理映射。

優勢映射與雙有理等價编辑

之前考慮合成問題時,曾利用像的稠密性條件;滿足該條件的有理映射稱為優勢映射。由於優勢映射可以作合成,定義從概形   雙有理等價為一個優勢映射  ,使得存在另一個從    的優勢映射  ,使   

以下考慮   上的不可約代數簇及其間的  -有理映射。有理映射的地位在於:透過有理函數的「拉回」運算,代數簇之間的優勢映射對應到函數域之間的映射,而雙有理等價對應到函數域的同構。由此可知代數簇的雙有理等價範疇等價於函數域的反範疇。

雙有理等價的例子编辑

雙有理等價的定義較同構寬,因為我們容許態射在某維度較低的閉集上未定義。一個例子是   ,兩者雙有理等價,而並不同構。原因如下:  中的任兩條閉曲線都有交點,而在   中,   不相交,因而    並不同構。

另一方面, 函數域可以在仿射開集   上計算,此開集的座標環是  ,其函數域是  ;這也是   的函數域,於是二者雙有理等價。若細審上述論證,事實上能寫出所求雙有理等價的式子。

參見编辑

文獻编辑

  • Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné. Éléments de géométrie algébrique 2nd edition. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1971. ISBN 978-3-540-05113-8 (法语). 
  • Hartshorne, Robin. Algebraic Geoemtry. Berlin; New York: Springer-Verlag. 1977. ISBN 978-0-387-90244-9 (英语).