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雷諾傳輸定理也稱為萊布尼茲-雷諾傳輸定理雷諾定理,是以積分符號內取微分聞名的萊布尼茲積分律英语Leibniz integral rule的三維推廣。

雷諾傳輸定理得名自奧斯鮑恩·雷諾(1842–1912),用來調整積分量的微分,用來推導連續介質力學的基礎方程。

考慮在時變的區域積分,其邊界為,考慮上式對時間的積分:

若要求上述積分的導數,會有兩個問題,的時間相依性,及因動態的邊界而增加或減少的空間,雷諾傳輸定理提供了必要的框架。

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通用型式编辑

要推導的雷諾傳輸定理[1][2][3]是:

 

其中 為向外的單位法向量, 為區域中的一點,也是積分變數,   內的體積元素及表面元素, 為面積元素的速度,不一定要是流速。函數 可以是張量向量純量函數[4]。注意等式左邊的積分只是時間的函數,因此可以用全微分。

針對流體塊的形式编辑

在連續介質力學中,此定理常用在沒有物質進來或離開的流體塊英语fluid parcel或固體中。若 為一流體塊,則存在速度函數 及邊界元素符合下式

 

上式在替代後,可以得到以下的定理[5]

 

錯誤的引用编辑

此定理常被錯誤的引用為只針對物质体积(material volume)的形式,若將只針對物质体积應用於物质体积以外的區域中,就會出現問題。

特別形式编辑

 不隨時間改變,則 ,且恆等式化簡為以下的形式

 

不過若用了不正確的雷諾傳輸定理,無法進行上述的簡化。

在一維下的詮釋及簡化编辑

此定理是積分符號內取微分的高維延伸,有些情形下可以簡化為積分符號內取微分。假設   無關,且  平面的單位方塊,且有  的極限,雷諾傳輸定理會簡化為

 

上述是由積分符號內取微分來的表示式,但x及t變數已經對調。

相關條目编辑

腳註编辑

  1. ^ L. Gary Leal, 2007, p. 23.
  2. ^ O. Reynolds, 1903, Vol. 3, p. 12–13
  3. ^ J.E. Marsden and A. Tromba, 5th ed. 2003
  4. ^ H. Yamaguchi, Engineering Fluid Mechanics, Springer c2008 p23
  5. ^ T. Belytschko, W. K. Liu, and B. Moran, 2000, Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures, John Wiley and Sons, Ltd., New York.
  6. ^ Gurtin M. E., 1981, An Introduction to Continuum Mechanics. Academic Press, New York, p. 77.

參考資料编辑

  • L. G. Leal, 2007, Advanced transport phenomena: fluid mechanics and convective transport processes, Cambridge University Press, p. 912.
  • O. Reynolds, 1903, Papers on Mechanical and Physical Subjects, Vol. 3, The Sub-Mechanics of the Universe, Cambridge University Press, Cambridge.
  • J. E. Marsden and A. Tromba, 2003, Vector Calculus, 5th ed., W. H. Freeman .

外部連結编辑

  • Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subjects, in three volumes, published circa 1903, now fully and freely

available in digital format:Volume 1, Volume 2, Volume 3,