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電磁學裏,電磁波方程式(英語:Electromagnetic wave equation)乃是描述電磁波傳播於介質真空的二階微分方程式。電磁波的波源是局域化的含時電荷密度電流密度,假若波源為零,則電磁波方程式約化為二階齊次微分方程式英语homogeneous differential equation。這方程式的形式,以電場磁場來表達為

其中,拉普拉斯算符是電磁波在真空或介質中傳播的速度,時間

由於光波就是電磁波,也是光波傳播的速度,稱為光速。在真空裏, [公尺/秒],是電磁波傳播於自由空間的速度。

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歷史编辑

詹姆斯·麦克斯韦的1864年論文《電磁場的動力學理論》內,麦克斯韦將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併,因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是,這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他這樣說[1]

這些殊途一致的結果,似乎意味著光波與電磁波都是同樣物質的屬性,並且,光波是按照著電磁定律傳播於電磁場的電磁擾動。 — 詹姆斯·麦克斯韦

理論推導编辑

在真空裏,麦克斯韦方程組的四個微分方程式為

 (1)
 (2)
 (3)
 (4)

其中, 真空磁導率 真空電容率

分別取公式(2)、(4)的旋度

 
 

應用一則向量恆等式(這裏, 應被理解爲對V的每個分量取拉普拉斯算子,卽拉普拉斯–德拉姆算子

 

其中, 是任意向量函數。

將公式(1)、(3)代入,即可得到亥姆霍茲方程形式的波動方程式:

 (5)
 (6)

其中,  [公尺/秒]是電磁波傳播於自由空間的速度。

齊次的波動方程式的協變形式编辑

電磁四維勢 是由電勢 矢量勢 共同形成的,定義為

 

採用勞侖次規範

 

前述那些齊次的波動方程式(5)、(6),可以按照反變形式寫為

 

其中, 達朗貝爾算子,又稱為四維拉普拉斯算子

彎曲時空中的齊次的波動方程式编辑

齊次的电磁波方程式在弯曲时空中需要做两处修正,分别是將偏导数替换为协变导数,以及增加了一项有关时空曲率的项。假设洛伦茨规范在弯曲时空中的推广为

 

那麼,彎曲時空中的齊次的波動方程式為

 

其中, 里奇曲率张量

非齊次的電磁波方程式编辑

追根究底,局域化的含時電荷密度電流密度是電磁波的波源。在有波源的情形下,馬克士威方程組可以寫成一個非齊次的電磁波方程式的形式。正是因為波源的存在,使得偏微分方程式變為非齊次。

波動方程式的解编辑

在齊次的電磁波方程式中,電場和磁場的每一個分量都滿足純量波動方程式

 (7)

其中, 是任意良態函數,

純量波動方程式的一般解的形式為

 

其中, 是任意良態函數, 位置向量 是時間, 波向量 角頻率

函數 描述一個波動,隨著時間的演化,朝著 的方向傳播於空間。將函數 代入純量波動方程式(7),可得到角頻率與波數色散關係

 

或者,角頻率一定大於零,但波數可以是負值:

 

正弦波编辑

 
正弦函數餘弦函數的曲線是不同相位的正弦曲線。

假設,函數 的波形為正弦波

 

其中, 是實值波幅 初相位

根據歐拉公式

 

函數 也可以表達為一個複數的實值部分

 

以上方加有波浪號的符號來標記複值變數。設定複值函數 

 

其中, 是複值波幅

那麼,

 

純量波動方程式的正弦波解的形式為 的實值部分。任意涉及實函數 線性方程式,都可以用複函數 來代替 。最後得到的複值答案,只要取實值部分,就可以得到描述實際物理的答案。但是,當遇到非線性方程式,必須先轉換為實值函數,才能夠確保答案的正確性。

由於指數函數三角函數容易計算,在很多場合,都可以使用這技巧。

線性疊加编辑

任意波動 可以表達為一個無限集合的不同頻率的正弦波的線性疊加

 

所以,只要能得知單獨頻率的波動 單色波)的表達式,就可以求算整個波動 的表達式。

齊次的電磁波方程式的解编辑

單色正弦平面波的解编辑

 
電磁波是橫波,電場方向與磁場方向相互垂直,又都垂直於傳播方向。

從前面的分析,可以猜到齊次的電磁波方程式的單色正弦平面波的解為:

 
 

其中,  分別為複值電場 和複值磁場 的複常數振幅向量。

這兩個方程式顯示出的正弦平面波的傳播方向是 的方向。由於方程式(1)和(3),

 
 

電場和磁場垂直於波向量,波動傳播的方向。所以,電磁波是橫波

由於法拉第電磁感應定律方程式(2),

 

將角頻率與波數的色散關係式 帶入:

 

所以,電場與磁場相互垂直於對方;磁場的大小等於電場的大小除以光速。

電磁波譜分解编辑

 
電磁波譜顯示出不同種類的電磁波的頻率值域和波長值域。可見光譜只佔有寬廣的電磁波譜的一小部分。

由於馬克士威方程組在真空裡的線性性質,其解答可以分解為一集合的正弦波。將這集合的正弦波的疊加在一起,又可以形成原本的解答。這是傅立葉變換方法解析微分方程式的基礎概念。電磁波方程式的正弦波解的形式為

 
 

波向量與角頻率的關係為

 

其中, 波長

按照波長長短,從長波開始,電磁波可以分類為電能無線電波微波紅外線可見光紫外線X-射線伽馬射線等等。普通實驗使用的光譜儀就足以分析從2  奈米到2500 奈米波長的電磁波。使用這種儀器,可以得知物體、氣體或甚至恆星的詳細物理性質。這是天文物理學的必備儀器。例如,氫原子會發射波長為21.12公分的無線電波。

圓柱對稱性解编辑

 
原柱對稱形共軸傳輸線

如圖右,思考一條由半徑為 的無窮長的直導線,和半徑為 的無窮長的圓柱導電管,所組成的共軸傳輸線。假設這傳輸線與z-軸平行。由於共軸傳輸線的內部有一條直導線,不是空心的,它可以傳輸  的電磁橫波,採用圓柱坐標 ,在傳輸線的內部空間,電場和磁場分別為[2]

 
 

這一組方程式顯示出電磁波方程式的圓柱對稱性解的一種形式。

球對稱性解编辑

思考一個位於原點的振盪中的磁偶極矩 。這磁偶極矩會發射出電磁波,從原點往無窮遠輻射出去。採用球坐標 ,則在離原點很遠的位置 ,電場和磁場分別為[2]

 
 

這是一組滿足電磁波方程式的球面波方程式。

參閱编辑

參考文獻编辑

  1. ^ 馬克士威, 詹姆斯, A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field (PDF): pp. 499, 1864 
  2. ^ 2.0 2.1 Griffiths, David J. Introduction to Electrodynamics (3rd ed.). Prentice Hall. 1998: pp. 411–412, 451–453. ISBN 0-13-805326-X. 
  • Tipler, Paul. Physics for Scientists and Engineers: Electricity, Magnetism, Light, and Elementary Modern Physics (5th ed.). W. H. Freeman. 2004. ISBN 0-7167-0810-8. 
  • Jackson, John D. Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. 1998. ISBN 0-471-30932-X. 
  • Landau, L. D., The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics: Volume 2), (Butterworth-Heinemann: Oxford, 1987). ISBN 0-08-018176-7.
  • Maxwell, James C. A Treatise on Electricity and Magnetism. Dover. 1954. ISBN 0-486-60637-6.