正式定義
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一個定義於
X
{\displaystyle X}
二元關係
R
{\displaystyle R}
X
×
X
{\displaystyle X\times X}
子集 。給定
a
,
b
∈
X
{\displaystyle a,b\in X}
(
a
,
b
)
∈
R
{\displaystyle (a,b)\in R}
a
R
b
{\displaystyle aRb}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
R
{\displaystyle R}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
R
{\displaystyle R}
如果對於所有
a
,
b
∈
X
{\displaystyle a,b\in X}
a
R
b
{\displaystyle aRb}
b
R̸
a
{\displaystyle b\not Ra}
(
a
,
b
)
∈
R
⟹
(
b
,
a
)
∉
R
{\displaystyle (a,b)\in R\implies (b,a)\not \in R}
R
{\displaystyle R}
非對稱 的。以一階邏輯 的形式可以寫成：
∀
a
,
b
∈
X
:
a
R
b
⟹
¬
(
b
R
a
)
{\displaystyle \forall a,b\in X:aRb\implies \lnot (bRa)}
一個邏輯等價的定義如下：對於所有
a
,
b
∈
X
{\displaystyle a,b\in X}
a
R
b
{\displaystyle aRb}
b
R
a
{\displaystyle bRa}
∀
a
,
b
∈
X
:
¬
(
a
R
b
∧
b
R
a
)
{\displaystyle \forall a,b\in X:\lnot (aRb\wedge bRa)}
非對稱關係的一個例子是定義於實數 上的「小於關係」，亦即
R
=
{
(
a
,
b
)
|
a
<
b
}
{\displaystyle R=\{(a,b)\ |\ a<b\}}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
R
{\displaystyle R}
a
=
b
{\displaystyle a=b}
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
b
≤
a
{\displaystyle b\leq a}
非對稱關係不代表對稱關係 的相反，上述的「小於等於關係」既不是非對稱關係，也不是對稱關係；而「空關係（
R
=
∅
{\displaystyle R=\emptyset }
非對稱關係（Asymmetric）與反對稱關係 （Antisymmetric）的差異在於：反對稱關係容許自反性 ，
(
a
,
a
)
{\displaystyle (a,a)}
R
{\displaystyle R}
一個關係為非對稱的，若且唯若該關係為反對稱 且非自反 的[2]
對於一個非對稱關係
R
{\displaystyle R}
限制 或求其逆關係 後，該關係同樣是非對稱的。例如，由「
<
{\displaystyle <}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
b
≮
a
{\displaystyle b\not <a}
>
{\displaystyle >}
一個遞移關係 為非對稱的，若且唯若該關係為非自反 的[3]
a
R
b
{\displaystyle aRb}
b
R
a
{\displaystyle bRa}
a
R
a
{\displaystyle aRa}
一個關係為遞移性的且非對稱的，若且唯若該關係為嚴格偏序 的。
一個非對稱關係不一定是全關係 。例如，由「嚴格子集」定義的關係是非對稱關係（若
A
⊂
B
{\displaystyle A\subset B}
B
⊄
A
{\displaystyle B\not \subset A}
{
1
,
2
}
⊄
{
3
,
4
}
{\displaystyle \{1,2\}\not \subset \{3,4\}}
{
3
,
4
}
⊄
{
1
,
2
}
{\displaystyle \{3,4\}\not \subset \{1,2\}}
參考資料
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^ Gries, David; Schneider, Fred B., A Logical Approach to Discrete Math, Springer-Verlag: 273 , 1993 ^ Nievergelt, Yves, Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography, Springer-Verlag: 158 , 2002 ^ Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. Transitive Closures of Binary Relations I (PDF) . Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. 2007: 1 [2013-08-20 ] . （原始内容 (PDF) 存档于2013-11-02）.
