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韋達跳越英语:Vieta jumping)是一個處理數論的証明技巧。通常是藉韋達定理,來對根進行無窮遞降法

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歷史编辑

韋達跳越在国际奥林匹克数学竞赛IMO)裡是一個相對較新的數論解題技巧,在1988年IMO第一次出了這類的題目,且被認為是當年最難的題目。[1]Arthur Engel 曾寫了關於這問題的一段描述:

六名澳洲解題委員會委員沒有一人在六小時時限內解出。其中有兩名是塞凱賴什·哲爾吉和他老婆,都是有名的解題者和出題者。另外四名是澳洲數論學家。這題被他們標記上雙重星號,意味著這題是極難的。經過一長時間的討論,評審委員仍將他列在該年的最後一題。十一名學生給出了完美的解答。

在十一名學生中,有一名即為知名的菲爾茲獎得主吳寶珠[2]

標準型韋達跳躍编辑

標準型韋達跳躍的中心概念是反證法,由下列步驟所組成:

  1. 假設存在一個不符合題意的解。
  2. 借由此解製造出的最小解 ,我們可以找到一個更小的解,但這和最小解 是相違背的。

注: 的"最小"由一個函數 給出,通常可令 

範例编辑

1988 IMO #6  是正整數,且 整除 。試證 完全平方數[3]

  1. k = a2 + b2/ab + 1。我們假設在滿足題目的條件下,存在一個或更多不是完全平方數的解k
  2. 對特定k,使(A, B)為其對應解中A + B最小的,不失一般性可假設AB。用變數x取代A,重整方程式可得x2 – (kB)x + (B2k) = 0,其中一根為x1 = A。利用韋達定理,可將另一根表示成x2 = kBA或是x2 = B2k/A
  3. x2的第一個表示式可得x2為整數,第二個表示式可得x2 ≠ 0因為k不是完全平方數。進一步的,我們從x22 + B2/x2B + 1 = k > 0可得x2為正數。最後,從 AB可推出x2 = B2k/A < A,所以x2 + B < A + B,與A + B為最小矛盾。

常數型韋達跳躍编辑

範例编辑

  是正整數,且 整除 ,試証 [4]

幾何解釋编辑

範例编辑

1988 IMO #6一樣可以使用幾何解釋解出。  是正整數,且 整除 。試証 完全平方數。

參見辭條编辑

参考文献编辑