打开主菜单

预序关系(简称预序,又称先序preorder)、在数学中,是一类接近于偏序关系的二元关系,但仅满足自反性传递性而不满足反对称性。偏序的大多数理论均可扩展到预序。

目录

定义编辑

考虑集合 P 及其上的二元关系  。若   具有自反性传递性,则称  预序。具体来说,对任意 P 的元素 abc,下列性质成立:

a   a (自反性)
a   bb   c,则 a   c (传递性)

带预序的集合称为预序集合。同时满足反对称性(若 a   bb   a,则 a = b)的预序为偏序

说明编辑

作为特例,空集上的空关系为一预序。空集加上空关系构成一预序集。

导出偏序编辑

将预序集的等价元素等同起来,可得到由该预序集所导出的偏序集。具体过程如下:定义预序集 X 上的等价关系  ,使得 a   b 当且仅当 a   bb   a。定义所得商集  (所有  等价类构成的集合)上的序关系   ,使得[x]   [y] 当且仅当 x   y。由   的构造可知,  的定义与所选等价类的代表元素无关,故上述定义明确。易证该关系为一偏序。

举例编辑

  • 拓扑网络收敛的定义使用预序比使用偏序可避免重要特征的丢失。
  • The embedding relation for countable total orderings.
  • 图论中的图子式关系(Robertson-Seymour)
  • Preference, according to common models.

参见编辑

參考文獻编辑

  • Schröder, Bernd S. W., Ordered Sets: An Introduction, Boston: Birkhäuser, 2002, ISBN 0-8176-4128-9