击中时 也称为命中时 、首中时 ,是数学 中随机过程 研究裡出现的一个概念,表示一个随机过程首次接触到状态空间 的某个子集 的时间。在特定的例子中,也会被称为离时 (脱离时间 )或回时 (首次回归时间 )。
布朗运动过程的三个路径,接触到上限则结束
设T {\displaystyle T} 是一个有序的指标集 ,比如说是自然数 的集合N {\displaystyle \mathbb {N} } 、非负实数 集R + = [ 0 , + ∞ ) {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}=[0,+\infty )} 或者是这两者的子集。T {\displaystyle T} 中的一个元素t ∈ T {\displaystyle t\in T} 可以被认为是一种记录时间 的方式(离散或连续型)。给定一个概率空间( Ω , F , P ) {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} ,一个可测状态空间S {\displaystyle S} ,设X : Ω × T → S = ( X t ) t ∈ T {\displaystyle X:\,\,\Omega \times T\rightarrow S=\left(X_{t}\right)_{t\in T}} 为一个随机过程,并设A {\displaystyle A} 为S {\displaystyle S} 中的一个可测 子集。那么,随机过程( X t ) t ∈ T {\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}} 首次接触子集A {\displaystyle A} 的击中时定义为以下的随机变量 [1] :155 :
τ A Ω ⟶ T ¯ {\displaystyle \tau _{A}\Omega \longrightarrow {\overline {T}}}
τ A ( ω ) := inf { t ∈ T | X t ( ω ) ∈ A } . {\displaystyle \tau _{A}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\in A\}.} 同样,可以定义( X t ) t ∈ T {\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}} 首次离开子集A {\displaystyle A} 的离时:
ϵ A ( ω ) := inf { t ∈ T | X t ( ω ) ∉ A } = inf { t ∈ T | X t ( ω ) ∈ A c } = τ A c . {\displaystyle \epsilon _{A}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\notin A\}=\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )\in A^{c}\}=\tau _{A^{c}}.} 可以看出离时实际上也是击中时的一种,表示首次接触到要研究的子集的补集 的时间。很多时候,离时也会记为τ A {\displaystyle \tau _{A}} ,和击中时一样。
另外一种击中时是 ( X t ) t ∈ T {\displaystyle \left(X_{t}\right)_{t\in T}} 后首次回到出发点{ X 0 ( ω ) } {\displaystyle \{X_{0}(\omega )\}} 的击中时,称为回时或首次回归时间:
τ 0 ( ω ) := inf { t ∈ T | X t ( ω ) = X 0 ( ω ) } . {\displaystyle \tau _{0}(\omega ):=\,\,\inf\{t\in T\,|\,X_{t}(\omega )=X_{0}(\omega )\}.}
设( W t ) t ∈ R + {\displaystyle \left(W_{t}\right)_{t\in \mathbb {R} ^{+}}} 为R {\displaystyle \mathbb {R} } 上标准的布朗运动过程 ,则对于任意(实数的)波莱尔 可测子集A {\displaystyle A} ,都可以定义首次接触A {\displaystyle A} 的击中时τ A W {\displaystyle \tau _{A}^{W}} ,并且可以证明这样定义的击中时τ A W {\displaystyle \tau _{A}^{W}} 都是停时。 如果定义标准布朗运动( W t ) t ∈ R + {\displaystyle \left(W_{t}\right)_{t\in \mathbb {R} ^{+}}} 首次离开区间A r = ( − r , r ) {\displaystyle A_{r}=(-r,r)} 的离时为ϵ r W = τ A r c W {\displaystyle \epsilon _{r}^{W}=\tau _{A_{r}^{c}}^{W}} ,那么这个离时也是停时,它的数学期望 是:E ( ϵ r W ) = r 2 {\displaystyle \mathbb {E} (\epsilon _{r}^{W})=r^{2}} ,方差 是Var ( ϵ r W ) = 2 3 r 4 . {\displaystyle \operatorname {Var} (\epsilon _{r}^{W})={\frac {2}{3}}r^{4}.} 首发定理
编辑
对于给定的概率空间,随机过程首次进入状态空间中的一个可测子集F {\displaystyle F} 的击中时也称为F {\displaystyle F} 的首发时间(début )。首发定理说明,如果随机过程是循序可测 的,那么可测子集的首发时间一定是停时。循序可测过程包括所有的左连续适应过程 和右连续适应过程。首发定理的证明用到了解析集 的性质。首发定理需要概率空间是完全概率空间 。
首发定理的逆定理指出,所有定义在某个实数时间轴的滤波 上的停时,都能表示为某个状态空间子集的击中时。特别地,存在一个适应的不增随机过程,其路径几乎总是左极限右连续,并且取值为0或1,使得子集{ 0 } {\displaystyle \{0\}} 的击中时就是对应的停时。
参考来源
编辑
^ (英文) Rick Durrett. Probability: theory and examples ,4th edition. Cambridge University Press. 2000. ISBN 0521765390 .