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數學中,首個不可數序數,傳統記之為ω1(或有時為Ω),是一個最小的序數,而其於被考慮為集合時為不可數。它是所有可數序數的最小上界。ω1 的所有元素,皆為可數序數,縱使他們的數目共有不可數多個。

與任何序數相像(冯·诺伊曼的方法),ω1是一個良序集合,以集合從屬性("∈")作為序的關係。ω1是一個极限序数,意即並不存在一個α使得α + 1 = ω1

集合ω1,是第一個不可數基數——ℵ1阿列夫數1號。是故ω1乃是ℵ1的起始序數。而且,在大部份的構造中,ω1 與 ℵ1 是同一個集合(見冯·诺伊曼基数指派)。推而廣之,若α為任意序數,我們定義ωα 為基數ℵα的起始序數。

ω1的存在性,可以在沒有选择公理的情況下被證明(見Hartogs number)。

拓撲性質编辑

任一序數上都可定義序拓撲(即以開區間組成的集族為的拓撲),故可視為一個拓撲空間。視 ω1 為拓撲空間時,通常記為 [0,ω1) ,以強調其為所有小於 ω1 的序數組成的空間。

[0,ω1) 中的每個遞增 ω-序列都收斂到某個在 [0,ω1) 中的極限,因為由可數序數組成的可數集的(亦即序列的上確界)也是個可數序數。

拓撲空間 [0,ω1) 是序列緊,但不是緊的。於是,無法將之度量化。不過,其為可數緊的英语countably compact space,故不是林德勒夫空間。由可數性公理觀之, [0,ω1) 第一可數,但不可分,也不第二可數

空間 [0, ω1] = ω1 + 1 是緊的,而不第一可數。通常用 ω1 來定義長直線,作為拓撲學上的重要反例。

參見编辑

參考文獻编辑