在代数中，马施克定理是有限群表示论中基本的定理之一。
若 V {\displaystyle V} 是域 K {\displaystyle K} 上的有限维线性空间， ( V , ρ ) {\displaystyle (V,\rho )} 是有限群 G {\displaystyle G} 的表示, U 0 {\displaystyle U_{0}} 是 V {\displaystyle V} 的 G {\displaystyle G} 不变子空间, K {\displaystyle K} 的特征不能整除 G {\displaystyle G} 的阶，
则存在 V {\displaystyle V} 中的 G {\displaystyle G} 不变子空间 W {\displaystyle W} ，使得 V = W ⊕ U {\displaystyle V=W\oplus U} ，从而 ( V , ρ ) {\displaystyle (V,\rho )} 是完全可约的。
U 0 {\displaystyle U_{0}} 是 V {\displaystyle V} 的子空间，所以存在 U 0 {\displaystyle U_{0}} 在 V {\displaystyle V} 中的补空间 W 0 {\displaystyle W_{0}} ，及投影 P 0 {\displaystyle P_{0}} , Q 0 {\displaystyle Q_{0}} ，使得
U 0 = P 0 V {\displaystyle U_{0}=P_{0}V}
W 0 = Q 0 V {\displaystyle W_{0}=Q_{0}V}
P 0 2 − P 0 = Q 0 2 − Q 0 = P 0 Q 0 = Q 0 P 0 = 0 {\displaystyle P_{0}^{2}-P_{0}=Q_{0}^{2}-Q_{0}=P_{0}Q_{0}=Q_{0}P_{0}=0}
P 0 + Q 0 = 1 {\displaystyle P_{0}+Q_{0}=1}
由条件“ K {\displaystyle K} 的特征不能整除 G {\displaystyle G} 的阶”，令 N = | G | {\displaystyle N=|G|} ，则 N {\displaystyle N} 是域K中的可逆元。
定义新的投影算子
P = N − 1 ∑ g ∈ G g P 0 g − 1 {\displaystyle P=N^{-1}\sum _{g\in G}gP_{0}g^{-1}}
Q = N − 1 ∑ g ∈ G g Q 0 g − 1 {\displaystyle Q=N^{-1}\sum _{g\in G}gQ_{0}g^{-1}}
则
P + Q = 1 {\displaystyle P+Q=1}
P 2 = P {\displaystyle P^{2}=P}
Q 2 = Q {\displaystyle Q^{2}=Q}
P Q = Q P = 0 {\displaystyle PQ=QP=0}
于是
V = U ⊕ W {\displaystyle V=U\oplus W}
其中 U = Im P {\displaystyle U={\textrm {Im}}{P}} ， W = Im Q {\displaystyle W={\textrm {Im}}{Q}}
由 P {\displaystyle P} 的定义 U = Im P ⊆ U 0 {\displaystyle U={\textrm {Im}}P\subseteq U_{0}}
另一方面可以直接验证 ∀ u = P 0 v ∈ U 0 , Q u = Q P 0 v = 0 {\displaystyle \forall u=P_{0}v\in U_{0},Qu=QP_{0}v=0} 从而 U 0 ⊆ Ker Q = Im P = U {\displaystyle U_{0}\subseteq {\textrm {Ker}}Q={\textrm {Im}}P=U}
故 U = U 0 {\displaystyle U=U_{0}}
V = U 0 ⊕ W {\displaystyle V=U_{0}\oplus W}
注意到 ∀ g ∈ G , g Q = Q g {\displaystyle \forall g\in G,gQ=Qg}
W {\displaystyle W} 是 G {\displaystyle G} 不变子空间。
证毕。
Heinrich Maschke
