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高斯光束的瞬时辐照度電腦繪圖
场强(蓝色)和辐照度(黑色)在坐标轴上的分布情况

光学中,高斯光束英语:Gaussian beam)是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的条件,在这种情况中,激光在光谐振腔中以TEM00波模(横向基模)传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折时,高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束,因此,高斯光束是激光光学中一种方便、广泛应用的模型。

描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解(属于小角近似的一种)。这个解具有高斯函数的形式,代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括电场磁场两部分,研究其中任一个场,就足以描述波在传播时的性质。

高斯光束中,场的行为可以通过几个参数加以刻画,如光斑大小,曲率半径,古依相移等。

亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解,在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。对这两类解,最低阶都是高斯光束,高阶解则描述了光学谐振腔中的高阶横向模。

目录

数学形式编辑

高斯光束作为电磁波的横向电磁模,通过求解近轴亥姆霍兹公式,可得电场的振幅

 
 
纳米激光器产生的激光

这里

  为径向坐标,以光轴中心为参考点
  为轴向坐标,以光轴上光波最狭窄(束腰)位置为参考点
 虚数单位(即  
 波数(以“弧度/米”为单位)
 
  为当电磁场振幅降到轴向的1/e、强度降到轴向的1/e2的点的半径
  为激光的束腰宽度
  为光波波前的曲率半径
  为轴对称光波的 Gouy 相移,对高斯光束的相位也有影响

此外,上式中默认忽略了含时项  

对应的辐照度时域平均值为

 

这里   为光波束腰中心处的辐照度。常数   为光波所在传播介质中的波阻抗英语Wave impedance。在真空中, 

波束参数编辑

高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定,下面将分别予以介绍。

束腰编辑

对于在自由空间传播的高斯光束,其腰斑英语spot size位置的半径在光轴方向总大于一个最小值  ,这个最小值被称为束腰(beam waist)。波长  的光波的腰斑位置在   轴上的分布为

 

这里将   定义为束腰的位置。

 

被称为瑞利距离

瑞利距离和共焦参数编辑

与束腰轴向距离等于瑞利距离   处的束宽为

 

这两点之间的距离称作共焦参数或光束的焦深英语depth of focus

 

曲率半径编辑

  是光束波前的曲率半径,它是轴向距离的函数

 

光束偏移编辑

 ,参数    呈线性关系,趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”,它等于

 

在远离束腰的位置,光束弯散的总角度为

 

由于这一性质,聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直,激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应,但是高斯光束是一种特殊情况,其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。

由于高斯光束模型使用了近轴近似,当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后,这种模型将不再适用[1]。通过上述偏移的表达式,这意味着高斯光束模型仅对束腰大于   的光束适用。

激光束的质量可以用束参数乘积英语beam parameter product(BBP)来衡量。对于高斯光束,BBP 的数值就是光束的偏移量与束腰   的乘积。实际光束的 BPP 通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下,实际光束的 BPP 数值与理想激光束的 BPP 数值的比值被称为“M2”。高斯光束的 M2 值为1,而所有的是激光束的 M2 值均大于1,并且质量越好的激光的 M2 值越接近1。

Gouy 相位编辑

光束的轴向上的相位延迟,或称 Gouy 相位为

 

当光束通过焦点时,除了正常情况下平面波的相移   外,多出一个额外的 Gouy 相移  

复数形式的光束参数编辑

可以通过复数形式的光束参数   囊括光斑尺寸与曲率半径的信息,

 

倒数   显式提供了     间的关系:

 

光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位,特别是当使用光线传递矩阵分析光谐振腔中光束传播。

利用复数光束参数  ,具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例

 

在二维的情况中,可以将散光的光束表达为乘积的形式

 

对于圆对称的普遍情况,  ,可以得出[2]

 

功率和辐照度编辑

流经孔隙的功率编辑

流经距离 z 轴半径为r的圆的功率

 

这里

  为电磁波传播的总能量

流经以   为半径的圆的能量占总能量的比值为

 

类似的,占光波总能量约90%的部分将流经半径为   的圆形面积,总能量的95%通过   的圆形面积,总能量的99%会通过   的圆。

辐照度的峰值和平均值编辑

在与束腰的轴向距离为   的位置,利用洛必达法则,可以计算该位置的辐射照度峰值

 

可以看出,辐照度峰值为平均值的两倍,后者等于总能量除以半径为   的圆的面积。

相關條目编辑

参考文献编辑

  1. ^ Siegman (1986) p. 630.
  2. ^ See Siegman (1986) p. 639. Eq. 29
  • Saleh, Bahaa E. A. and Teich, Malvin Carl. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. ISBN 0-471-83965-5.  Chapter 3, "Beam Optics," pp. 80–107.
  • Mandel, Leonard and Wolf, Emil. Optical Coherence and Quantum Optics. Cambridge: Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-41711-2.  Chapter 5, "Optical Beams," pp. 267.