高斯整環
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高斯整数形成了一个唯一分解整环 ，其可逆元 为1 , − 1 , i , − i {\displaystyle 1,-1,i,-i}
Z [ i ] {\displaystyle \mathbf {Z} [i]} 素元素 又称为高斯質數 高斯整数a + b i {\displaystyle a+bi} 当且仅当 ：
a , b {\displaystyle a,b} 4 n + 3 {\displaystyle 4n+3} − ( 4 n + 3 ) {\displaystyle -(4n+3)} 或
a , b {\displaystyle a,b} a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} 高斯素数的分布 以下给出这些条件的证明。
必要条件 的证明为：仅当高斯整数的范数是素数，或素数的平方时，它才是高斯素数。这是因为对于任何高斯整数g {\displaystyle g} g ∣ g g ¯ = N ( g ) {\displaystyle g\mid g{\overline {g}}=N(g)} N ( g ) {\displaystyle N(g)} 算术基本定理 ，它可以分解为素数p 1 p 2 ⋯ p n {\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}} g {\displaystyle g} p i {\displaystyle p_{i}} i {\displaystyle i} g ¯ {\displaystyle {\overline {g}}} p i ¯ = p i {\displaystyle {\overline {p_{i}}}=p_{i}} N ( g ) = g g ¯ ∣ p i 2 {\displaystyle N(g)=g{\overline {g}}\mid p_{i}^{2}} g {\displaystyle g}
如果实际上对于某个素数p {\displaystyle p} N ( g ) = p 2 {\displaystyle N(g)=p^{2}} g {\displaystyle g} g ¯ {\displaystyle {\overline {g}}} p 2 {\displaystyle p^{2}} g = p u {\displaystyle g=pu} g ¯ = p u ¯ {\displaystyle {\overline {g}}=p{\overline {u}}} u {\displaystyle u} a = 0 {\displaystyle a=0} b = 0 {\displaystyle b=0} g = a + b i {\displaystyle g=a+bi}
然而，不是每一个素数p {\displaystyle p} 2 {\displaystyle 2} 2 = ( 1 + i ) ( 1 − i ) {\displaystyle 2=(1+i)(1-i)} 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1} 费马平方和定理 ，它们可以写成a 2 + b 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} a 2 + b 2 = ( a + b i ) ( a − b i ) {\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)} 4 n + 3 {\displaystyle 4n+3}
形为4 n + 3 {\displaystyle 4n+3} g = p + 0 i {\displaystyle g=p+0i} p = 4 n + 3 {\displaystyle p=4n+3} g = h k {\displaystyle g=hk} p 2 = N ( g ) = N ( h ) N ( k ) {\displaystyle p^{2}=N(g)=N(h)N(k)} N ( h ) = N ( k ) = p {\displaystyle N(h)=N(k)=p} 4 n + 3 {\displaystyle 4n+3} g {\displaystyle g}
类似地，i {\displaystyle i} 4 n + 3 {\displaystyle 4n+3} i {\displaystyle i} 4 n + 1 {\displaystyle 4n+1}
如果g {\displaystyle g} g {\displaystyle g} g = h k {\displaystyle g=hk} N ( g ) = N ( h ) N ( k ) {\displaystyle N(g)=N(h)N(k)} N ( g ) {\displaystyle N(g)} N ( h ) {\displaystyle N(h)} N ( k ) {\displaystyle N(k)} h {\displaystyle h} k {\displaystyle k}
作为整闭包
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高斯整数环是Z {\displaystyle \mathbf {Z} } 高斯有理数 域 中的整闭包 ，由实数部分和虚数部分都是有理数 的复数组成。
作为欧几里德环
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在图中很容易看到，每一个复数 与最近的高斯整数的距离最多为2 2 {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}} Z [ i ] {\displaystyle \mathbf {Z} [i]} 欧几里德环 ，其中v ( z ) = N ( z ) {\displaystyle v(z)=N(z)} 主理想整環 ，其理想皆形如⟨ a + b i ⟩ {\displaystyle \langle a+bi\rangle } ( a , b ) = 1 {\displaystyle (a,b)=1}
Z [ i ] / ⟨ a + b i ⟩ ≅ Z a 2 + b 2 = { [ 0 ] , [ 1 ] , [ 2 ] ⋯ , [ a 2 + b 2 − 1 ] } . {\displaystyle \mathbb {Z} [i]/{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{[0],[1],[2]\cdots ,[a^{2}+b^{2}-1]\}.} [1] 未解决的问题
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高斯圆问题 是中心为原点、半径为给定值的圆内有多少格点 的问题。它本身并不是关于高斯整数的，但等价于确定范数小于某个给定值的高斯整数的数目。
关于高斯整数，还有一些猜想和未解决的问题，例如：
实数轴和虚数轴含有无穷多个高斯素数3 , 7 , 11 , 19 , … {\displaystyle 3,7,11,19,\dots } 1 {\displaystyle 1}
在高斯素数上行走，步伐小于某个给定的值，可以走到无穷远吗？
参考文献
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^ 存档副本 . [2022-01-01 ] . （原始内容存档 于2015-09-23）.
C. F. Gauss, Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda., Comm. Soc. Reg. Sci. Gottingen 7 (1832) 1-34; reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93-148.
从数到环：环论的早期历史 ，由Israel Kleiner所作 (Elem. Math. 53 (1998) 18 – 35)Ribenboim, Paulo, The New Book of Prime Number Records, New York: Springer, 1996, ISBN 0-387-94457-5 
![{\displaystyle \mathbf {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a617cf5867f951fefb72f3ab7278e0f6f1eedd)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ffa94e9e2e6d9e5e5373d5fafb954b902743fde)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ae955a9a0d0f342fc73aaafe28af604d23267f7)
![{\displaystyle \mathbf {Z} [i]=\{a+bi\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab3ea6e4d0d9399bf9d4b39fd2dcad16de15b338)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [i]/{\left\langle a+bi\right\rangle }\cong \mathbb {Z} _{a^{2}+b^{2}}\ =\ \{[0],[1],[2]\cdots ,[a^{2}+b^{2}-1]\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff91630f30804e75139d3bb3cc1692b9892c03a0)
