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高斯求積(Gaussian quadrature),又稱高斯數值積分,是以德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯所命名的一种数值积分中的求积规则。当我们要求解某个函数的积分 ,其数值解可以由近似,其中为权重。高斯求积仅当函数可以由在区间上的多项式近似时才能获得准确的近似解,且这种方法并不适用于函数具有奇异点的情况。于是乎,我们可以把函数写作,其中是近似多项式,是已知的权重函数,这样我们就有

常用的权重函数有

(高斯切比雪夫)

以及

(高斯埃米特)。

高斯勒让得求积编辑

对于上述的最简单的积分形式,即权重函数 时,关联多项式为勒让得多项式 ,这种方法通常称为高斯勒让德求积,此时权重函数为下式,

 

  的第 個根。

 

对于求解低阶积分,选择的点的数目、位置和权重如下表所示。

点的数目, n 点的位置, xi 权重, wi
1 0 2
2   1
3 0 89
  59
4    
   
5 0 128225
   
   

变区间法则编辑

在使用高斯求积的时候必须要将积分区间 变换到 ,可利用變數變換得:

 

對應的高斯求積近似式为

 

其他形式编辑

对于如下的通用积分式来说,

 

   时,即为上述内容。我们还可以用别的积分规则,如下表所示。

区间 ω(x) 正交多项式
[−1, 1]   勒让德多项式
(−1, 1)   雅可比多项式
(−1, 1)   切比雪夫多项式 (第一类)
[−1, 1]   切比雪夫多项式 (第二类)
[0, ∞)   拉盖尔多项式
(−∞, ∞)   埃尔米特多项式