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魏爾斯特拉斯橢圓函數

數學函數類

數學中,魏爾斯特拉斯橢圓函數(Weierstrass's elliptic functions)又稱 p 函數並且以 符號表示,是格外簡單的一類橢圓函數,也是雅可比橢圓函數的特殊形式。卡爾·魏爾斯特拉斯首先研究了這些函數。

Symbol for Weierstrass P function

魏爾斯特拉斯p函數的符號

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定義编辑

固定   中的格     上線性無關),對應的魏爾斯特拉斯橢圓函數定義是

 

顯然右式只與格   相關,無關於基   之選取。  的元素也稱作週期。

另一方面,格   在取適當的全純同態   後可表成  ,其中   屬於上半平面。對於這種形式的格,

 

反之,由此亦可導出對一般的格之公式

 

在數值計算方面,  可以由Θ函數快速地計算,方程是

 
  • 在週期格中的每個點,  有二階极点
  •   是偶函數。
  • 複導函數   是奇函數。

加法定理编辑

 

假設  ,上式有一個較對稱的版本

 

此外

 

魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足複製公式:若   不是週期,則

 

微分方程與積分方程编辑

定義  (依賴於  )為

 
 

求和符號   意謂取遍所有非零的  。當   時,它們可由艾森斯坦級數   表示。

則魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足微分方程

 

  給出了從複環面   映至三次複射影曲線   的全純映射;可證明這是同構。

另一方面,將上式同除以  ,積分後可得

 

右側是複平面上的路徑積分,對不同的路徑  ,其積分值僅差一個   的元素;所以左式應在複環面   中考慮。在此意義下,魏爾斯特拉斯橢圓函數是某類橢圓積分之逆。

模判別式编辑

續用上節符號,模判別式   定義為下述函數

 

視為週期格的函數,這是權 12 之模形式。模判別式也可以用戴德金η函數表示。

文獻编辑

  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
  • K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
  • Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21

外部連結编辑