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性質编辑

鳶形二十四面體由24個、48條、26個頂點組成[5],其中24個面為24個全等的鳶形、48條邊中有24條等長的長邊和24條等長的短邊、26個頂點中有8個頂點是3個鳶形的公共頂點,對應的頂角是三面角;以及6個頂點是4個鳶形的公共頂點,對應的頂角是四面角;剩下的12個頂點也是4個鳶形的公共頂點,對應的頂角也是四面角,但角度與前者不同[6]。它的對偶多面體小斜方截半立方體

面的組成编辑

鳶形二十四面體由24個全等箏形(亦稱為鳶形)所組成[7]

 

該箏形或鳶形的長短邊長比為1:(2 − 1/2) ≈ 1:1.292893...[8],有3個角等角,其角度分別為(115.26°,81.58°,81.58°,81.58°)[8]

體積與表面積编辑

一個最短邊邊長為a的鳶形二十四面體,其表面積A、體積是V為[9]

 

頂點坐標编辑

若其對偶多面體的小斜方截半立方体邊長為單位長,則對應的幾何中心位於原點的鳶形二十四面體,頂點坐標為[10]

 
 
 
 
 
 
 

正交投影编辑

鳶形二十四面體有三種從頂點投影的高對稱性正交投影。後兩者的對偶圖其對稱性對應於B2和A2考克斯特平面英语Coxeter plane[11][12]

正交投影
投影對稱性 [2] [4] [6]
圖像      
對偶圖像      

使用编辑

在文化中,鳶形二十四面體出現在部分藝術創作中,例如莫里茲·柯尼利斯·艾雪的藝術創作《星星》以及马兰·布洛克荷兰语Maree_Blok的裝置藝術《永恆的水》。此外,亦有部份24個面的多面體骰子被設計為鳶形二十四面體的外型,其他常見的24面骰子有三角化八面體四角化六面體偽鳶形二十四面體英语Pseudo-deltoidal icositetrahedron偏方二十四面體五角化二十四面體等形狀[13]

化學中,部分物質的結晶形狀是鳶形二十四面體。例如,在自然界中,方沸石石榴石晶體結構就是鳶形二十四面體,部分實驗中制備的氧化铟奈米晶體亦是這種形狀[14]。在礦物學中,這種晶體形狀稱為偏方面體(英語:Trapezohedron)[15][16][17],但在幾何學中偏方面體則有其他含意[18],表示反柱體的對偶多面體[19][20]。 此外在某些情況下會結晶出較不規則的鳶形二十四面體,其在結晶學中稱為偏方二十四面體(英語:diplohedron)[21][22][23]

相關多面體與鑲嵌编辑

 
投影到球面的鳶形二十四面體

若將鳶形二十四面體投影到球面上,如右圖所示,則其邊會與複合八面體立方體(立方體和其對偶——正八面體在空間中互相重疊組合成的結構)投影到球面上的果共用相同的稜[24]

 
鳶形二十四面體
 
複合八面體立方體與左圖同一個角度

鳶形二十四面體是小斜方截半立方体的對偶多面體,而小斜方截半立方体可以經由立方體或正八面體透過擴展變換來構造[25]。其他可以由立方體或正八面體透過康威變換構造的立體及其對偶有:

半正正八面体家族多面体
对称性: [4,3], (*432) [4,3]+, (432) [1+,4,3], (*332) [4,3+], (3*2)
                                                           
                   
{4,3} t0,1{4,3} t1{4,3} t1,2{4,3} {3,4} t0,2{4,3} t0,1,2{4,3} s{4,3} h{4,3} h1,2{4,3}
半正多面体的对偶
                                                           
                   
V4.4.4 V3.8.8 V3.4.3.4 V4.6.6 V3.3.3.3 V3.4.4.4 V4.6.8 V3.3.3.3.4 V3.3.3 V3.3.3.3.3
*變異的n42對稱性對偶擴展鑲嵌系列:V3.4.n.4
對稱性
*n32英语Orbifold notation
[n,3]英语Coxeter notation
球面鑲嵌英语List_of_spherical_symmetry_groups 歐氏鑲嵌英语List_of_planar_symmetry_groups 緊湊雙曲 仿緊雙曲
*232
[2,3]
*332
[3,3]
*432
[4,3]
*532
[5,3]
*632
[6,3]
*732
[7,3]
*832
[8,3]...
*∞32
[∞,3]
圖像
面佈局英语Face configuration
 
V3.4.2.4
 
V3.4.3.4
 
V3.4.4.4
 
V3.4.5.4
 
V3.4.6.4
 
V3.4.7.4英语Rhombitriheptagonal tiling
 
V3.4.8.4
 
V3.4.∞.4
對偶
頂點佈局英语Vertex configuration
 
3.4.2.4
 
3.4.3.4
 
3.4.4.4
 
3.4.5.4
 
3.4.6.4
 
3.4.7.4英语Rhombitriheptagonal tiling
 
3.4.8.4
 
3.4.∞.4

偏方二十四面體编辑

 
晶體學中的偏方二十四面體。

偏方二十四面體為鳶形二十四面體的一種變體,其拓樸結構與鳶形二十四面體等價。鳶形二十四面體與偏方二十四面體的拓樸結構皆與立方體每個面的正方形用兩條垂直線分成四個小正方形的結果等價。其可以投影到正八面體上並將每個三角形面分成3個鳶形。 在晶体学中,透過旋轉其三面角所形成的變體稱為dyakis dodecahedron[26][27]diploid[28],然而這些變體在中文文獻中皆被稱為偏方二十四面體[23]

八面體群英语Octahedral symmetry, Oh, 24階 五角十二面體群英语Pyritohedral symmetry, Th, 12階
         

鳶形二十四面體圖编辑

圖論的數學領域中,與鳶形二十四面體相關的圖為鳶形二十四面體圖(Disdyakis Dodecahedral Graph),是鳶形二十四面體之邊與頂點的圖英语1-skeleton[29],是一個阿基米德對偶圖[30]

性質编辑

鳶形二十四面體圖有48條邊和26個頂點,其中為3的頂點有8個、度為4的頂點有18個。[29]

特徵多項式[29]

 

參見编辑

參考文獻编辑

  1. Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.  (Section 3-9)
  2. Wenninger, Magnus, Dual Models, Cambridge University Press, 1983, ISBN 978-0-521-54325-5, MR 730208, doi:10.1017/CBO9780511569371  (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, Page 23, Deltoidal icositetrahedron)
  1. ^ The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 [1] (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, page 286, tetragonal icosikaitetrahedron)
  2. ^ Conway, Symmetries of things[1], p.284-286
  3. ^ Holden, A. Shapes, Space, and Symmetry (Dover Books on Mathematics). Dover Publications. 1971: p. 55. 
  4. ^ 4.0 4.1 Eric W. Weisstein. Deltoidal Icositetrahedron. 密西根州立大學. 1999-05-26 [2019-09-01]. (原始内容存档于2013-05-28). 
  5. ^ V. Bulatov. deltoidal icositetrahedron. bulatov.org. 2009 [2019-09-02]. (原始内容存档于2017-12-06). 
  6. ^ David I. McCooey. Catalan Solids: Deltoidal Icositetrahedron. dmccooey.com. 2015 [2019-09-02]. (原始内容存档于2019-09-02). 
  7. ^ Deltoidal Icositetrahedron Calculator. rechneronline.de. [2019-09-05]. (原始内容存档于2019-09-05). 
  8. ^ 8.0 8.1 Deltoidal icositetrahedron. fillygons.ch. [2019-09-02]. (原始内容存档于2019-09-02). 
  9. ^ Weisstein, E.W. CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. CRC Press. 2002: p.700. ISBN 9781420035223. 
  10. ^ Data of Deltoidal Icositetrahedron. dmccooey.com. (原始内容存档于2017-08-27). 
  11. ^ 約翰·史坦布里奇英语John Stembridge. Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. (原始内容存档于2018-02-10). 
  12. ^ 約翰·史坦布里奇英语John Stembridge. More Coxeter Planes. math.lsa.umich.edu. (原始内容存档于date=2017-08-21). 
  13. ^ Kybos, Alea. Properties of Dice (PDF). [7 October 2012]. (原始内容 (PDF)存档于28 May 2012). 
  14. ^ Luo, Shaojuan and Yang, Dongning and Zhuang, Jianle and Ng, Ka Ming. Synthesis and characterization of nearly monodisperse deltoidal icositetrahedral In 2 O 3 nanocrystals via one-pot pyrolysis reaction. CrystEngComm (Royal Society of Chemistry). 2013, 15 (40): 8065––8068. 
  15. ^ The Trapezohedron. galleries.com. [2019-09-02]. 
  16. ^ Muhammad Talha Butt, Mineral Habits, Bahria university, 2009-05-18 
  17. ^ 偏方面體 trapezohedron. 國家教育研究院. [2019-09-01]. 
  18. ^ Weisstein, Eric W. Trapezohedron. MathWorld--A Wolfram Web Resource. 
  19. ^ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite symmetry groups, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c
  20. ^ Anthony Pugh. Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley. 1976. ISBN 0-520-03056-7.  Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms。
  21. ^ Alain Darbellay. A study of MADAGASCAR GARNET. gggems.com. [2019-09-02]. (原始内容存档于2019-09-08). 
  22. ^ Muhammad Talha Butt, Mineral Habits, Bahria university, 2009-05-18 
  23. ^ 23.0 23.1 偏方二十四面體 diplohedron (diploid). 國家教育研究院. [2019-09-01]. (原始内容存档于2019-09-02). 
  24. ^ Weisstein, Eric W. Cube-Octahedron Compound. MathWorld--A Wolfram Web Resource. 
  25. ^ Weisstein, Eric W. Rhombicuboctahedron. MathWorld--A Wolfram Web Resource. 
  26. ^ Scott Sherman. Isohedron 24k. loki3.com. 2012 [2019-09-02]. (原始内容存档于2019-02-18). 
  27. ^ Jaap Bax. The Isometric Crystal System. metafysica.nl. 2001-11-26 [2019-09-02]. (原始内容存档于2018-11-29). 
  28. ^ Steve Dutch. The 48 Special Crystal Forms. University of Wisconsin Green Bay. 2011-01-20 [2015-05-17]. (原始内容存档于2013-09-18). 
  29. ^ 29.0 29.1 29.2 Weisstein, Eric W. Deltoidal Icositetrahedral Graph. MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2019-09-06]. (原始内容存档于2019-09-05). 
  30. ^ Weisstein, Eric W. Archimedean Dual Graph. MathWorld--A Wolfram Web Resource. [2019-09-06]. (原始内容存档于2019-09-05). 

外部連結编辑