度量张量

(重定向自黎曼度量

度量張量(英語:Metric tensor)在黎曼幾何裡面又叫黎曼度量,物理学译为度規張量,是指一用來衡量度量空间中距離,面積及角度的二階張量

内容编辑

當选定一個局部坐標系統 ,度量張量為二階張量一般表示為  ,也可以用矩陣   表示,記作為Gg。而   記號傳統地表示度量張量的協變分量(亦為「矩陣元素」)。

   的弧線長度定义如下,其中参数定為t,t由a到b:

 

兩個切向量的夾角  ,設向量   ,定義為:

 

    的局部微分同胚,其誘導出的度量張量的矩陣形式  ,由以下方程式計算得出:

 

  表示  雅可比矩阵,它的轉置为  。著名例子有   之間從極座標   到直角座標   的座標變換,在這例子裡有:

 
 

這映射的雅可比矩陣為

 

所以

 

這跟微積分裡極座標的黎曼度量,  ,一致。

例子编辑

歐幾里德幾何度量编辑

二維歐幾里德度量張量:

 

弧線長度轉為熟悉微積分方程式:

 

在其他坐標系統的歐氏度量:

极坐标系 

 

圓柱坐標系 

 

球坐標系 

 

平坦的闵可夫斯基空间 (狭义相对论): 

 

在一些習慣中,與上面相反地,時間ct的度規分量取正號而空間 (x,y,z)的度規分量取負號,故矩陣表示為:

 

參看编辑