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实分析中,由黎曼创立的黎曼积分英语:Riemann integral)首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼-斯蒂尔杰斯积分勒贝格积分得到修补。

目录

概念编辑

 
作为曲线坐标轴所夹面积的黎曼积分

对于一在区间 上之给定非负函数 ,我们想要确定 所代表的曲线 坐标轴所夹图形的面积,我们可以将此记为

 

黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。同时請注意,如 取负值,则相应的面积值 亦取负值。

 
一列黎曼和。右上角的数字表示矩形面积总和。这列黎曼和趋于一个定值,记为此函数的黎曼积分。

定义编辑

区间的分割编辑

一个闭区间 的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列 。每个闭区间 叫做一个子区间。定义 为这些子区间长度的最大值: ,其中 

再定义取样分割。一个闭区间 的一个取样分割是指在进行分割 后,于每一个子区间中 取出一点  的定义同上。

精细化分割:设 以及 构成了闭区间 的一个取样分割,  是另一个分割。如果对于任意 ,都存在 使得 ,并存在 使得 ,那么就把分割:  称作分割  的一个精细化分割。简单来说,就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系,称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割,就说前者比后者更“精细”。

黎曼和编辑

对一个在闭区间 有定义的实值函数  关于取样分割  黎曼和积分和)定义为以下和式:

 

和式中的每一项是子区间长度 与在 处的函数值 的乘积。直观地说,就是以标记点 到X轴的距离为高,以分割的子区间为长的矩形的面积。

黎曼积分编辑

不太严格地来说,黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候,黎曼和趋向的极限。下面的证明中,会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。

要使得“越来越‘精细’”有效,需要把 趋于0。如此 中的函数值才会与 接近,矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上,这就是黎曼积分定义的大概描述。

严格定义如下 是函数 在闭区间 上的黎曼积分,当且仅当对于任意的 ,都存在 ,使得对于任意的取样分割  ,只要它的子区间长度最大值 ,就有:

 

也就是说,对于一个函数 ,如果在闭区间 上,无论怎样进行取样分割,只要它的子区间长度最大值足够小,函数 的黎曼和都会趋向于一个确定的值,那么 在闭区间 上的黎曼积分存在,并且定义为黎曼和的极限,这时候称函数 黎曼可积的。

这个定义的缺陷是没有可操作性,因为要检验所有 的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义,然后证明它们是等价的。

另一个定义:  是函数 在闭区间 上的黎曼积分,当且仅当对于任意的 ,都存在一个取样分割  ,使得对于任何比其“精细”的分割  and  ,都有:

 

这两个定义是等价的。如果有一个 满足了其中一个定义,那么它也满足另一个。首先,如果有一个 满足第一个定义,那么只需要在子区间长度最大值 的分割中任取一个。对于比其精细的分割,子区间长度最大值显然也会小于 ,于是满足

 

其次证明满足第二个定义的 也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念,第二个定义和达布积分的定义是等价的,具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割 使得它的上达布和下达布和都与 相差不超过 。令 等于 ,其中    上的上确界下确界。再令   中的较小者。可以看出,当一个分割的子区间长度最大值小于 时, 关于它的黎曼和与上达布和下达布和至多相差 ,所以和 至多相差 

由于以上原因,黎曼积分通常被定义为达布积分(即第二个定义),因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。

黎曼积分的性质编辑

  • 线性性:黎曼积分是线性变换,也就是说,如果  在区间 上黎曼可积,  是常数,则:
 

由于一个函数的黎曼积分是一个实数,因此在固定了一个区间 后,将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射 是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函

  • 正定性:如果函数 在区间 几乎处处勒贝格测度意义上)大于等于0,那么它在 上的积分也大于等于零。如果 在区间 上几乎处处大于等于0,并且它在 上的积分等于0,那么 几乎处处为0。
  • 可加性:如果函数 在区间  上都可积,那么 在区间 上也可积,并且有
 

无论abc之间的大小关系如何,以上关系式都成立。

  •  上的实函数 是黎曼可积的,当且仅当它是有界几乎处处连续的。
  • 如果 上的实函数是黎曼可积的,则它是勒贝格可积的。
  • 如果  上的一个一致收敛序列,其极限为 ,那么:
 
  • 如果一个实函数在区间 上是单调的,则它是黎曼可积的,因为其中不连续的点集是至多可列集。

黎曼积分的推广编辑

黎曼积分可推广到值属于 维空间 的函数。积分是线性定义的,即如果 ,则 。特别地,由于复数是实数向量空间,故值为复数的函数也可定义积分。

黎曼积分只定义在有界区间上,扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分,即如同反常积分(improper integral)一样。我们可以令

 

不幸的是,这并不是很合适。平移不变性(如果把一个函数向左或向右平移,它的黎曼积分应该保持不变)丧失了。例如,令     。则对所有 

 .

但如果我们将 向右平移一个单位得到 ,则对所有 ,我们得到

 .

由于这是不可接受的,我们可以尝试定义:

 

此时,如果尝试对上面的 积分,我们得到 ,因为我们先使用了极限 。如果使用相反的极限顺序,我们得到 

这同样也是不可接受的,我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足,依然不是我们想要的,因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如,令  上,其它域上等于0。对所有  。但 一致收敛于0,因此 的积分是0。因此 。即使这是正确的值,可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。

一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见,但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的,并且当二者都有定义时积分值也是一致的。

事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock–Kurzweil积分

扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子 ,粗略地说,这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。

相关条目编辑

参考文献编辑

  • Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198.