四阶龙格-库塔法
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在各種龙格－库塔法當中有一個方法十分常用，以至于经常被称为“RK4”或者就是“龙格－库塔法”。该方法主要是在已知方程导数和初始值时，利用计算机的仿真应用，省去求解微分方程的复杂过程。
令初值问题 表述如下。
y
′
=
f
(
t
,
y
)
,
y
(
t
0
)
=
y
0
{\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}}
则，对于该问题的RK4由如下方程给出：
y
n
+
1
=
y
n
+
h
6
(
k
1
+
2
k
2
+
2
k
3
+
k
4
)
{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+{h \over 6}(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4})}
其中
k
1
=
f
(
t
n
,
y
n
)
{\displaystyle k_{1}=f\left(t_{n},y_{n}\right)}
k
2
=
f
(
t
n
+
h
2
,
y
n
+
h
2
k
1
)
{\displaystyle k_{2}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{1}\right)}
k
3
=
f
(
t
n
+
h
2
,
y
n
+
h
2
k
2
)
{\displaystyle k_{3}=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{2}\right)}
k
4
=
f
(
t
n
+
h
,
y
n
+
h
k
3
)
{\displaystyle k_{4}=f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right)}
这样，下一个值（y n +1y n h ）和一个估算的斜率的乘积所决定。该斜率是以下斜率的加权平均：
k 1 是时间段开始时的斜率；k 2 是时间段中点的斜率，通过欧拉法 采用斜率k 1 来决定y 在点t n h /2的值；k 3 也是中点的斜率，但是这次采用斜率k 2 决定y 值；k 4 是时间段终点的斜率，其y 值用k 3 决定。当四个斜率取平均时，中点的斜率有更大的权值：
slope
=
k
1
+
2
k
2
+
2
k
3
+
k
4
6
.
{\displaystyle {\mbox{slope}}={\frac {k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}}{6}}.}
RK4法是四阶方法，也就是说每步的误差是h 5 阶 ，而总积累误差为h 4 阶。
注意上述公式对于标量或者向量函数（y 可以是向量）都适用。
显式龙格-库塔法
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显式龙格-库塔法是上述RK4法的一个推广。它由下式给出
y
n
+
1
=
y
n
+
h
∑
i
=
1
s
b
i
k
i
,
{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}
其中
k
1
=
f
(
t
n
,
y
n
)
,
{\displaystyle k_{1}=f(t_{n},y_{n}),\,}
k
2
=
f
(
t
n
+
c
2
h
,
y
n
+
a
21
h
k
1
)
,
{\displaystyle k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+a_{21}hk_{1}),\,}
k
3
=
f
(
t
n
+
c
3
h
,
y
n
+
a
31
h
k
1
+
a
32
h
k
2
)
,
{\displaystyle k_{3}=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+a_{31}hk_{1}+a_{32}hk_{2}),\,}
⋮
{\displaystyle \vdots }
k
s
=
f
(
t
n
+
c
s
h
,
y
n
+
a
s
1
h
k
1
+
a
s
2
h
k
2
+
⋯
+
a
s
,
s
−
1
h
k
s
−
1
)
.
{\displaystyle k_{s}=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+a_{s1}hk_{1}+a_{s2}hk_{2}+\cdots +a_{s,s-1}hk_{s-1}).}
（注意：上述方程在不同著述中有不同但等价的定义）。
要给定一个特定的方法，必须提供整数s （级数），以及系数 a ij j < i ≤ s ）, b i i = 1, 2, ..., s ）和c i i = 2, 3, ..., s ）。这些数据通常排列在一个助记工具中，称为Butcher tableau （得名自約翰·C·布徹
0
c
2
{\displaystyle c_{2}}
a
21
{\displaystyle a_{21}}
c
3
{\displaystyle c_{3}}
a
31
{\displaystyle a_{31}}
a
32
{\displaystyle a_{32}}
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋮
{\displaystyle \vdots }
⋱
{\displaystyle \ddots }
c
s
{\displaystyle c_{s}}
a
s
1
{\displaystyle a_{s1}}
a
s
2
{\displaystyle a_{s2}}
⋯
{\displaystyle \cdots }
a
s
,
s
−
1
{\displaystyle a_{s,s-1}}
b
1
{\displaystyle b_{1}}
b
2
{\displaystyle b_{2}}
⋯
{\displaystyle \cdots }
b
s
−
1
{\displaystyle b_{s-1}}
b
s
{\displaystyle b_{s}}
龙格－库塔法是自洽的，如果
∑
j
=
1
i
−
1
a
i
j
=
c
i
f
o
r
i
=
2
,
…
,
s
.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}\ \mathrm {for} \ i=2,\ldots ,s.}
如果要求方法的精度為p 階，即截斷誤差為O(h p +1b 1 + b 2 = 1, b 2 c 2 = 1/2, 以及b 2 a 21 = 1/2。
RK4法处于这个框架之内。其表为：
0
1/2
1/2
1/2
0
1/2
1
0
0
1
1/6
1/3
1/3
1/6
然而，最简单的龙格－库塔法是（更早发现的）欧拉方法 ，其公式為
y
n
+
1
=
y
n
+
h
f
(
t
n
,
y
n
)
{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})}
隐式龙格-库塔法
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以上提及的显式龙格－库塔法一般来讲不适用于求解刚性方程 。这是因为显式龙格－库塔法的稳定区域被局限在一个特定的区域里。显式龙格－库塔法的这种缺陷使得人们开始研究隐式龙格－库塔法，一般而言，隐式龙格－库塔法具有以下形式：
y
n
+
1
=
y
n
+
h
∑
i
=
1
s
b
i
k
i
,
{\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}
其中
k
i
=
f
(
t
n
+
c
i
h
,
y
n
+
h
∑
j
=
1
s
a
i
j
k
j
)
,
i
=
1
,
…
,
s
.
{\displaystyle k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\ldots ,s.}
在显式龙格－库塔法的框架里，定义参数
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
下三角矩阵 ，而隐式龙格－库塔法并没有这个性质，这是两个方法最直观的区别：
c
1
a
11
a
12
…
a
1
s
c
2
a
21
a
22
…
a
2
s
⋮
⋮
⋮
⋱
⋮
c
s
a
s
1
a
s
2
…
a
s
s
b
1
b
2
…
b
s
=
c
A
b
T
{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}}
需要注意的是，与显式龙格－库塔法不同，隐式龙格－库塔法在每一步的计算里需要求解一个线性方程組，这相应的增加了计算的成本。
George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems , second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8 .
William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C . Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.) 
