无理数 √2 - φ - √3 - √5 - δS - e - π
二进制
10.0011110001101111...
十进制
2.23606797749978969...
十六进制
2.3C6EF372FE94F82C...
连续分数
2
+
1
4
+
1
4
+
1
4
+
1
4
+
⋱
{\displaystyle 2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}}
5的算術平方根 是一个正的实数 ,為无理数 [1] ,一般称为“根号5”,记为
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
。
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
乘以 它本身的值为5 。
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
和黃金比值 有關。5的算术平方根數值为:
2.23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 ... (OEIS 中的数列A002163 )
可以四捨五入為2.236,有99.99%的準確度。截至1994年4月,其数值在小数点后已计算到至少100万个位数[2] 。
連分數表示法 编辑
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
可以表示為連分數 [2; 4, 4, 4, 4, 4...] (OEIS 中的数列A040002 )。最佳有理数逼近 的數列如下:
2
1
,
7
3
,
9
4
,
20
9
,
29
13
,
38
17
,
123
55
,
161
72
,
360
161
,
521
233
,
682
305
,
2207
987
,
2889
1292
,
…
{\displaystyle {\color {OliveGreen}{\frac {2}{1}}},{\frac {7}{3}},{\color {OliveGreen}{\frac {9}{4}}},{\frac {20}{9}},{\frac {29}{13}},{\color {OliveGreen}{\frac {38}{17}}},{\frac {123}{55}},{\color {OliveGreen}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {OliveGreen}{\frac {682}{305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {OliveGreen}{\frac {2889}{1292}}},\dots }
綠色的數字是
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
的連分數的渐近分数,其分子為數列A001077 ,而分母則為數列A001076 。其他黑色的數字則是半收斂 的部份。
可以利用牛頓法 計算
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
,利用r n +1 = (r n + 5/r n ) / 2的公式,啟始值r 0 = 2,第n個近似值r n 等於最佳有理数逼近數列中第2n個收斂的有理數:
2
1
=
2.0
,
9
4
=
2.25
,
161
72
=
2.23611
…
,
51841
23184
=
2.2360679779
…
{\displaystyle {\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {9}{4}}=2.25,\quad {\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad {\frac {51841}{23184}}=2.2360679779\ldots }
和黃金比例及費氏數列的關係 编辑
邊長為1正方形的一半,形成的長方形對角線長為
√5 /2 ,此特性可用在
黃金矩形 的繪製
黃金比例
φ
{\displaystyle \varphi }
是
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
和1的算术平均數 [3] 。
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
、黃金比例和共軛黃金比例 (
Φ
=
1
/
φ
=
φ
−
1
{\displaystyle \Phi =1/\varphi =\varphi -1}
)之間的代數 關係可以用以下幾個數學式來表示:
5
=
φ
+
Φ
=
2
φ
−
1
=
2
Φ
+
1
{\displaystyle {\sqrt {5}}=\varphi +\Phi =2\varphi -1=2\Phi +1}
φ
=
5
+
1
2
{\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}
Φ
=
5
−
1
2
.
{\displaystyle \Phi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.}
斐波那契数列 也可以用包括
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
及黃金比例的式子來表示:
F
(
n
)
=
φ
n
−
(
1
−
φ
)
n
5
.
{\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}.}
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
除以
φ
{\displaystyle \varphi }
得到的商(或
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
和Φ的積)及其倒數的連分數有特別的模式,而且和費氏數列及盧卡斯數 的比值有關[4] :
5
φ
=
Φ
⋅
5
=
5
−
5
2
=
1.3819660112501051518
⋯
=
[
1
;
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
…
]
{\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{\varphi }}=\Phi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}=1.3819660112501051518\dots =[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]}
φ
5
=
1
Φ
⋅
5
=
5
+
5
10
=
0.72360679774997896964
⋯
=
[
0
;
1
,
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
…
]
.
{\displaystyle {\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\Phi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}=0.72360679774997896964\dots =[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].}
其有理數逼近的數列,分子及分母分別為費氏數列及盧卡斯數:
1
,
3
2
,
4
3
,
7
5
,
11
8
,
18
13
,
29
21
,
47
34
,
76
55
,
123
89
,
…
…
[
1
;
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
…
]
{\displaystyle {1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},{\frac {47}{34}},{\frac {76}{55}},{\frac {123}{89}}},\dots \dots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]}
1
,
2
3
,
3
4
,
5
7
,
8
11
,
13
18
,
21
29
,
34
47
,
55
76
,
89
123
,
…
…
[
0
;
1
,
2
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
…
]
.
{\displaystyle {1,{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {13}{18}},{\frac {21}{29}},{\frac {34}{47}},{\frac {55}{76}},{\frac {89}{123}}},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].}
幾何上的意義 编辑
和丟番圖逼近的關係 编辑
丟番圖逼近 中的Hurwitz定理 說明每個無理數 x 可以被無窮多個有理數 的最簡分數 m /n 近似,且滿足以下的不等式
|
x
−
m
n
|
<
1
5
n
2
{\displaystyle \left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}}
此處的
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
是最佳可能的常數,若選擇其他較
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
大的常數,就會存在一些無理數x ,只存在有限多個滿足上述不等式的有理數最簡分式[7] 。
另一個定理也和上述定理有關[8] ,任意三個針對無理數α的連續收斂有理數逼近
p i /q i ,
p i +1 /q i +1 ,
p i +2 /q i +2 ,
以下的不等式至少會有一個成立:
|
α
−
p
i
q
i
|
<
1
5
q
i
2
,
|
α
−
p
i
+
1
q
i
+
1
|
<
1
5
q
i
+
1
2
,
|
α
−
p
i
+
2
q
i
+
2
|
<
1
5
q
i
+
2
2
.
{\displaystyle \left|\alpha -{p_{i} \over q_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i}^{2}},\qquad \left|\alpha -{p_{i+1} \over q_{i+1}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+1}^{2}},\qquad \left|\alpha -{p_{i+2} \over q_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q_{i+2}^{2}}.}
而分母的
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
也是最佳可能的常數,在逼近黃金比例時,此常數可以使左側的差值任意的逼近右側的數值。即使考慮四個或更多個連續的有理數逼近,也無法找到其他常數,可以使上界數值更小且滿足類似條件[8] 。
抽象代數中的意義 编辑
拉马努金的恆等式 编辑
數學家拉马努金 發現的許多連分數恆等式都和
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
有關[9] [10] 。
例如以下的羅傑·拉馬努金連分數 :
1
1
+
e
−
2
π
1
+
e
−
4
π
1
+
e
−
6
π
1
+
⋱
=
(
5
+
5
2
−
5
+
1
2
)
e
2
π
5
=
e
2
π
5
(
φ
5
−
φ
)
{\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{\frac {2\pi }{5}}=e^{\frac {2\pi }{5}}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right)}
1
1
+
e
−
2
π
5
1
+
e
−
4
π
5
1
+
e
−
6
π
5
1
+
⋱
=
(
5
1
+
[
5
3
4
(
φ
−
1
)
5
2
−
1
]
1
5
−
φ
)
e
2
π
5
{\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{\frac {3}{4}}(\varphi -1)^{\frac {5}{2}}-1\right]^{\frac {1}{5}}}-\varphi \right)e^{\frac {2\pi }{\sqrt {5}}}}
4
∫
0
∞
x
e
−
x
5
cosh
x
d
x
=
1
1
+
1
2
1
+
1
2
1
+
2
2
1
+
2
2
1
+
3
2
1
+
3
2
1
+
⋱
.
{\displaystyle 4\int _{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}
^ Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volume 248; Page 122.
^ R. Nemiroff and J. Bonnell: The first 1 million digits of the square root of 5 (页面存档备份 ,存于互联网档案馆 )
^ Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) New York Times Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty. Section: C; Page 1.
^ Richard K. Guy: "The Strong Law of Small Numbers". American Mathematical Monthly , vol. 95, 1988, pp. 675–712
^ Kimberly Elam, Geometry of Design: Studies in Proportion and Composition , New York: Princeton Architectural Press, 2001, ISBN 1568982496
^ Jay Hambidge, The Elements of Dynamic Symmetry , Courier Dover Publications, 1967, ISBN 0486217760
^ LeVeque, William Judson, Topics in number theory, Addison-Wesley Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1956, MR 0080682
^ 8.0 8.1 Khinchin , Aleksandr Yakovlevich, Continued Fractions, University of Chicago Press, Chicago and London, 1964
^ Ramanathan, K. G., On the Rogers-Ramanujan continued fraction, Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences, 1984, 93 (2): 67–77, ISSN 0253-4142 , doi:10.1007/BF02840651 , MR 813071
^ Eric W. Weisstein, Ramanujan Continued Fractions , [2010-12-19 ] , (原始内容存档 于2011-01-24) at MathWorld