Chirp-Z轉換

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啁啾-Z轉換(Chirp-Z transform)為離散傅立葉變換(DFT)的一般化,是一種適合於計算當取樣頻率間隔sampling frequency interval)與取樣時間間隔sampling time interval)乘積的倒數不等於信號的時頻分佈面積時的演算法,其為利用卷积來實現任意大小的離散傅立葉變換(DFT)的快速傅立葉變換演算法。

具體來說,啁啾-Z轉換沿著對數螺旋輪廓,計算出有限數量的點 zk 的Z轉換,其定義如下:

其中A為起始點,W為點與點之間的比率,M為需要計算的點的數量。

布魯斯坦演算法编辑

離散信號 的離散傅立葉變換可以寫成下列的形式

 

其中 這項的 可以利用平方式展開得到,如下式所示

 

所以

 

而將此平方展開式帶回原式我們可以得到

 

上面的累加結果恰為兩個序列 anbn 的卷積,兩序列的定義如下:

 
 

而產生的卷積結果會再乘上 N 個相位的參數 bk*

 


因此離散信號   的離散傅立葉變換現在可以分成三個步驟來實現:

  • STEP 1:對於信號 的每一個取樣點都乘上 
  • STEP 2:接著再與 做線性卷積
  • STEP 3:最後乘上 

如此即可得到不同頻率成分的 

此卷積動作可以透過卷積理論所實現,其中,由於這些快速傅立葉轉換結果的長度 N 不同,導致我們必須透過補零的方式,將快速傅立葉轉換的結果補至長度大於或等於 2N - 1,才能精確計算其卷積結果。此外,布魯斯坦演算法提供一個時間複雜度為 O(N log N) 的方式計算質數大小的離散傅立葉轉換。

在布魯斯坦演算法的卷積過程中使用補零的方式是值得討論的。如果我們將訊號補至長度為 M ≥ 2N–1,代表 an 被擴展至長度為 M 的陣列 An,其中當 0 ≤ n < N 時,An = an,否則 An = 0。然而,基於卷積中的 bkn 項, bn 需要 n 的正值和負值。在陣列中補零的離散傅立葉轉換的周期性邊界,代表著 -n 等於 M - n。因此,bn 被擴展到長度為 M 的陣列 Bn,其中 B0 = b0Bn = BMn = bn(當 0 < n &lt),否則,Bn = 0。然後根據通常的捲積定理對 AB 進行快速傅立葉轉換,逐點相乘,並進行逆快速傅立葉轉換以獲得 ab 的卷積。

讓我們更準確地說明,布魯斯坦演算法的離散傅立葉轉換需要什麼類型的捲積。如果序列 bn 在具有周期 Nn 中是具有周期性的,那麼它將是長度為 N 的循環卷積,並且,為了計算上的方便而使用補零的方式。但是,通常情況並非如此:

 

因此,當 N 為偶數時,卷積是具有週期性的,但在這種情況下,人們通常使用更有效率的快速傅立葉轉換演算法,例如Cooley-Tukey演算法;反之,當 N 為奇數時,bn 是反週期性的,並且具有長度 N 的負循環卷積。然而,當如上所述,使用補零的方式江陣列補到至少 2N−1 的長度時,兩者之間的差異消失。

Z轉換编辑

上述提到的布魯斯坦演算法也可以基於單方面的Z轉換,用以計算更一般化的轉換(Rabiner et al, 1969),特別是具有以下形式的轉換:

 

其中 z 為任意複數,N以及M分別為輸入及輸出的數量。

由前面所提到的布魯斯坦演算法,我們可以進行如此的轉換。例如,獲得訊號某一部分頻譜中的內插值,以及在傳遞函數分析中增加任意極點,皆為其應用之一。

該演算法被稱為啁啾-Z轉換演算法,是因為在傅立葉轉換的情境(|z| = 1)下,一序列 bn 是一複數正弦波,而在雷達系統中則被稱作「啁啾」。

相關條目编辑

參考文獻编辑

  • Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.
  • Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2018.
  • http://cnx.org/content/m12013/latest/