Delta位勢壘

量子力學裏,Delta位勢壘是一個壘內位勢為狄拉克Delta函數,壘外位勢為0的位勢壘。Delta位勢壘問題專門研討,在這種位勢的作用中,一個移動的粒子的量子行為。我們想要知道的是,在被Delta位勢壘散射的狀況下,粒子的反射係數透射係數。在許多量子力學的教科書裏,這是一個常見的習題。

定義编辑

 
對於一個Delta位勢壘的散射。往左與往右的行進波的振幅與方向都分別表示於圖內。用來計算透射係數反射係數行進波都以紅色表示。

一個粒子獨立於時間薛丁格方程

 

其中, 約化普朗克常數 是粒子質量, 是粒子位置, 是能量, 波函數 是位勢,表達為

 

其中, 狄拉克Delta函數 是狄拉克Delta函數的強度。

導引编辑

這位勢壘將一維空間分為兩個區域:  。在任何一個區域內,位勢為常數,薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的疊加(參閱自由粒子):

 
 

其中,    都是必須由邊界條件決定的常數,下標  分別標記波函數往右或往左的方向。 波數

由於   都是行進波。這兩個波必須滿足在 的邊界條件:

 
 

特別注意第二個邊界條件方程式,波函數隨位置的導數在 並不是連續的,在位勢壘兩邊的差額有 這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於 的一個非常小的鄰域:

 (1)

其中, 是一個非常小的數值。

方程式(1)右邊的能量項目是

 (2)

 的極限,這項目往著0去。

方程式(1)左邊是

 (3)

根據狄拉克Delta函數的定義,

 (4)

而在 的極限,

 (5)
 (6)

將這些結果(4),(5),(6)代入方程式(3),稍加編排,可以得到第二個邊界條件方程式:在 

 

從這兩個邊界條件方程式。稍加運算,可以得到以下方程式:

 
 

反射與透射编辑

 
一個Delta位勢壘的反射係數 (用紅線表示)與透射係數 (用綠線表示)隨著能量 的變化。在這裏,能量 。能量的單位是 。經典力學的答案用虛線表示,量子力學的答案用實線表示。

由於能量是正值的,粒子可以自由的移動於位勢壘外的兩個半空間,  。可是,在Delta位勢壘,粒子會遇到散射狀況。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢壘,粒子可能會被反射回去,或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數透射係數。設定    。求算反射的機率幅 與透射的機率幅 

 
 

反射係數是

 

透射係數是

 

這純粹是一個量子力學的效應,稱為量子穿隧效應;在經典力學裏,透射係數等於0,粒子不可能會透射過位勢壘。

  • 由於模型的對稱性,假若,粒子從右邊入射,我們也會得到同樣的答案。
  • 很奇異地,給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度,Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

參閱编辑