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對於一個Delta位勢阱的散射。往左與往右的行進波的振幅與方向都分別表示於圖內。用來計算透射係數反射係數行進波都以紅色表示。

量子力學裏,Delta位勢阱是一個內位勢為負狄拉克Delta函數,阱外位勢為0的位勢阱。Delta位勢阱問題專門研討,在這種位勢的作用中,一個粒子的量子行為。這是一個常見的理論問題。假若,粒子的能量是正值的,我們想要知道的是,在被Delta位勢壘散射的狀況下,粒子的反射係數透射係數。假若,粒子的能量是負值的,這粒子會被束縛於Delta位勢阱的阱內。這時,我們想要知道的是粒子的能量與束縛的量子態。

定義编辑

一個粒子獨立於時間薛丁格方程

 

其中, 約化普朗克常數 是粒子質量, 是粒子位置, 是能量, 波函數 是位勢,表達為

 

其中, 狄拉克Delta函數 是狄拉克Delta函數的強度。

導引编辑

這位勢阱將一維空間分為兩個區域:  。在任何一個區域內,位勢為常數,薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的的疊加(參閱自由粒子):

 
 

其中,    都是必須由邊界條件決定的常數,下標  分別標記波函數往右或往左的方向。 波數

 時,  都是行進波。可是,當 時,  都隨著座標 呈指數遞減或指數遞增。

 处,邊界條件是:

 
 

特別注意第二個邊界條件方程式,波函數隨位置的導數在 並不是連續的,在位勢阱兩邊的差額有 這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於 的一個非常小的鄰域:

 (1)

其中, 是一個非常小的數值。

方程式(1)右邊的能量項目是

 (2)

 时,该項趋向于0。

方程式(1)左邊是

 (3)

根據狄拉克Delta函數的定義,

 (4)

而在 的極限,

 (5)
 (6)

將這些結果(4),(5),(6)代入方程式(3),整理后,可以得到第二個邊界條件方程式:在 

 

從這兩個邊界條件方程式。稍加運算,可以得到以下方程式:

 
 

散射態编辑

 
一個Delta位勢阱的反射係數 (用紅線表示)與透射係數 (用綠線表示)隨著能量 的變化。在這裏,能量 。能量的單位是 。經典力學的答案用虛線表示,量子力學的答案用實線表示。

假若,能量是正值的,粒子可以自由的移動於位勢阱外的兩個半空間,  。在這裏,粒子的量子行為主要是由Delta位勢阱造成的散射行為。稱這粒子的量子態散射態。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢阱,粒子可能會被反射回去,或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數透射係數。設定    。求算反射的機率幅 與透射的機率幅 

 
 

反射係數是

 

這純粹是一個量子力學的效應;在經典力學裏,這是不可能發生的。

透射係數是

 
  • 由於模型的對稱性,假若,粒子從右邊入射,我們也會得到同樣的答案。
  • 很奇異地,給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度,Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

束縛態编辑

 
Delta位勢阱的束縛態,在任何一個位置,波函數都是連續的;可是,除了在 以外,在其它任何位置,波函數隨位置的導數都是連續的。

每一個一維的吸引位勢,都至少會存在著一個束縛態bound state)。由於 ,波數變為複數。設定 。前述的振盪的波函數  ,現在卻隨著座標 呈指數遞減或指數遞增。為了要符合物理的真實性,我們要求波函數不發散 。那麼,  必須被設定為0。波函數變為

 
 

從邊界條件與歸一條件,可以得到

 
 

Delta位勢阱只能有一個束縛態。束縛態的能量是

 

束縛態的波函數是

 

Delta位勢阱是有限深方形阱的一個特別案例。在有限深位勢阱的深度 與阱寬 的極限,同時保持 ,就可以從有限深位勢阱的波函數,得到Delta位勢阱的波函數。

雙井迪拉克Delta函數模型编辑

 
当核间距R=2时,双势井狄拉克Delta函数模型中的对称与反对称的波函数

Delta函數模型其實是氫原子的一維版本根據維度比例由 达德利·赫施巴赫(“Dudley R. Herschbach”)[1]團隊所研發。此 delta函數模型以雙井迪拉克Delta函數模型最有用,因其代表一維版的水分子離子。

雙井迪拉克Delta函數模型是用以下薛丁格方程描述:

 

電位現為:

 

其中 是「核間」距離於迪拉克Delta函數(負)峰值位於 (圖表中棕色所示)。記得此模型與其三維分子版本的關係,我們用原子单位制且設 。此處 為一可調參數。從單井的例子,可推論擬設於此解為:

 

令波函數於Delta函數峰值相等可得行列式

 

因此, 是由偽二次式方程:

 

它有兩解 。若等價情況(對稱單核), 則偽二次式化為:

 

此「+」代表了對稱於中點的波函數(圖中紅色)而 稱為偶態。接著,「-」情況為反對稱於中點的波函數其 稱為非偶態(圖中綠色)。它們代表著三維 的兩種最低能態之近似且有助於其分析。對稱電價的特徵能分析解為[2]

 

其中W是標準朗伯W函数注意此最低能對應於對稱解 。當非等電價,此為三維分子問題,其解為一般化Lambert W函數(見一般化朗伯W函数章節與相關參考)。

外部链接编辑

  1. ^ D.R Herschbach, J.S. Avery, and O. Goscinski (eds.), Dimensional Scaling in Chemical Physics, Springer, (1992). [1]
  2. ^ T.C. Scott, J.F. Babb, Alexander Dalgarno and John D. Morgan III, "The Calculation of Exchange Forces: General Results and Specific Models", J. Chem. Phys., 99, pp. 2841-2854, (1993). [2]

參閱编辑