Delta位勢壘

在量子力學裏，Delta位勢壘是一個壘內位勢為狄拉克Delta函數，壘外位勢為0的位勢壘。Delta位勢壘問題專門研討，在這種位勢的作用中，一個移動的粒子的量子行為。我們想要知道的是，在被Delta位勢壘散射的狀況下，粒子的反射係數與透射係數。在許多量子力學的教科書裏，這是一個常見的習題。

定義

對於一個Delta位勢壘的散射。往左與往右的行進波的振幅與方向都分別表示於圖內。用來計算透射係數與反射係數的行進波都以紅色表示。

一個粒子獨立於時間的薛丁格方程為

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\psi (x)\,\!$；

其中，$\hbar \,\!$是約化普朗克常數，$m\,\!$是粒子質量，$x\,\!$是粒子位置，$E\,\!$是能量，$\psi (x)\,\!$是波函數，$V(x)\,\!$是位勢，表達為

$V(x)=\lambda \delta (x)\,\!$；

其中，$\delta (x)\,\!$是狄拉克Delta函數，$\lambda \,\!$是狄拉克Delta函數的強度。

導引

這位勢壘將一維空間分為兩個區域：$x<0\,\!$與$x>0\,\!$。在任何一個區域內，位勢為常數，薛丁格方程的解答可以寫為往右與往左傳播的波函數的疊加（參閱自由粒子）：

$\psi _{L}(x)=A_{r}e^{ikx}+A_{l}e^{-ikx}\quad x<0\,\!$，

$\psi _{R}(x)=B_{r}e^{ikx}+B_{l}e^{-ikx}\quad x>0\,\!$；

其中，$A_{r}\,\!$、$A_{l}\,\!$、$B_{r}\,\!$、$B_{l}\,\!$都是必須由邊界條件決定的常數，下標$r\,\!$與$l\,\!$分別標記波函數往右或往左的方向。$k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}\,\!$是波數。

由於$E>0\,\!$，$\psi _{L}\,\!$與$\psi _{R}\,\!$都是行進波。這兩個波必須滿足在$x=0\,\!$的邊界條件：

$\psi _{L}=\psi _{R}\,\!$，

${\frac {d}{dx}}\psi _{L}={\frac {d}{dx}}\psi _{R}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!$。

特別注意第二個邊界條件方程式，波函數隨位置的導數在$x=0\,\!$並不是連續的，在位勢壘兩邊的差額有$-{\frac {2\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!$這麼多。這方程式的推導必須用到薛丁格方程。將薛丁格方程積分於$x=0\,\!$的一個非常小的鄰域：

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\epsilon }^{\epsilon }{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\,dx+\int _{-\epsilon }^{\epsilon }V(x)\psi \,dx=E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\,\!$；(1)

其中，$\epsilon \,\!$是一個非常小的數值。

方程式(1)右邊的能量項目是

$E\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\psi \,dx\approx E\cdot 2\epsilon \cdot \psi (0)\,\!$。(2)

在$\epsilon \to 0\,\!$的極限，這項目往著0去。

方程式(1)左邊是

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }-{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }\right)+\lambda \int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=0\,\!$(3)

根據狄拉克Delta函數的定義，

$\int _{-\epsilon }^{\epsilon }\delta (x)\psi \,dx=\psi _{R}(0)\,\!$。(4)

而在$\epsilon \to 0\,\!$的極限，

$\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{-\epsilon }={\frac {d\psi _{L}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!$，(5)

$\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{\epsilon }={\frac {d\psi _{R}}{dx}}{\bigg |}_{0}\,\!$。(6)

將這些結果(4)，(5)，(6)代入方程式(3)，稍加編排，可以得到第二個邊界條件方程式：在$x=0\,\!$，

${\frac {d\psi _{L}}{dx}}={\frac {d\psi _{R}}{dx}}-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}\psi _{R}\,\!$。

從這兩個邊界條件方程式。稍加運算，可以得到以下方程式：

$A_{r}+A_{l}=B_{r}+B_{l}\,\!$，

$ik(A_{r}-A_{l}-B_{r}+B_{l})=-{\frac {2m\lambda }{\hbar ^{2}}}(B_{r}+B_{l})\,\!$。

反射與透射

一個Delta位勢壘的反射係數$R\,\!$（用紅線表示）與透射係數$T\,\!$（用綠線表示）隨著能量$E\,\!$的變化。在這裏，能量$E>0\,\!$。能量的單位是${\frac {\lambda ^{2}}{2m\hbar ^{2}}}\,\!$。經典力學的答案用虛線表示，量子力學的答案用實線表示。

由於能量是正值的，粒子可以自由的移動於位勢壘外的兩個半空間，$x<0\,\!$或$x>0\,\!$。可是，在Delta位勢壘，粒子會遇到散射狀況。設定粒子從左邊入射。在Delta位勢壘，粒子可能會被反射回去，或者會被透射過去。我們想要知道散射的反射係數與透射係數。設定$A_{r}=1\,\!$，$A_{l}=r\,\!$，$B_{l}=0\,\!$，$B_{r}=t\,\!$。求算反射的機率幅$r\,\!$與透射的機率幅$t\,\!$：

$r={\cfrac {1}{{\cfrac {i\hbar ^{2}k}{m\lambda }}-1}}\,\!$，

$t={\cfrac {1}{{\cfrac {im\lambda }{\hbar ^{2}k}}+1}}\,\!$。

反射係數是

$R=|r|^{2}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {\hbar ^{4}k^{2}}{m^{2}\lambda ^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {2\hbar ^{2}E}{m\lambda ^{2}}}}}\,\!$。

透射係數是

$T=|t|^{2}=1-R={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m^{2}\lambda ^{2}}{\hbar ^{4}k^{2}}}}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {m\lambda ^{2}}{2\hbar ^{2}E}}}}\,\!$。

這純粹是一個量子力學的效應，稱為量子穿隧效應；在經典力學裏，透射係數等於0，粒子不可能會透射過位勢壘。

• 由於模型的對稱性，假若，粒子從右邊入射，我們也會得到同樣的答案。
• 很奇異地，給予同樣的能量、質量、與狄拉克Delta函數的強度，Delta位勢壘與Delta位勢阱有同樣的反射係數與透射係數。

參閱

• 自由粒子
• 無限深方形阱
• 有限深方形阱
• 有限位勢壘
• 球對稱位勢
• Delta位勢阱
• 量子穿隧效應