恩格尔展开式

Engel展開式是一個正整數數列$\{a_{1},a_{2},a_{3},...\}$，使得一個正實數可以以一種唯一的方式表示成埃及分數之和：

$x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+...\;$

有理數的展開式是有限的，無理數的是無限的。Engel 展开式得名于 F. Engel，他在 1913 年研究了它们。

Engel展开与连分数

Kraaikamp 和 Wu (2004年) 发现 Engel 展开可以被看作是连分数的上升变体。

$x={\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+{\frac {\displaystyle 1+\cdots }{\displaystyle a_{3}}}}{\displaystyle a_{2}}}}{\displaystyle a_{1}}}.$

算法

$u_{1}=x$

$a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil$

$u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1$

$\left\lceil r\right\rceil$表示最小的整數大於或等於$r$。

若$u_{i}=0$，則停止。

例子

k	uk	ak	uk+1
1	3/7	3	2/7
2	2/7	4	1/7
3	1/7	7	0

${\frac {3}{7}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}+{\frac {1}{3\times 4\times 7}}$

$\{3,4,7\}\;$

參考

• Engel, F. Entwicklung der Zahlen nach Stammbruechen. Verhandlungen der 52. Versammlung deutscher Philologen und Schulmaenner in Marburg: 190–191. 1913. 

• Kraaikamp, Cor; Wu, Jun. On a new continued fraction expansion with non-decreasing partial quotients. Monatshefte für Mathematik. 2004, 143: 285–298. doi:10.1007/s00605-004-0246-3. 

外部連結

• Engel展開式的例子