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同調代數中,Ext 函子是 Hom 函子的導函子。此函子首見於代數拓撲,但其應用遍佈許多領域。

定義编辑

  為有充足內射元的阿貝爾範疇,例如一個   上的左範疇  。固定一對象  ,定義函子  ,此為左正合函子,故存在右導函子  ,記為  。當   時,常記之為  

根據定義,取  內射分解

 

並取  ,得到

 

去掉首項  ,最後取上同調群,便得到  

另一方面,若   中也有充足射影元(例如  ),則可考慮右正合函子   及其左導函子  ,可證明存在自然同構  。換言之,對  射影分解

 

並取  ,得到

 

去掉尾項  ,其同調群同構於  

基本性質编辑

  •  射影對象 內射對象,則對所有   
  • 反之,若  ,則  射影對象。若  ,則  內射對象
  •  
  •  
  • 根據導函子性質,對每個短正合序列  ,有長正合序列
 
  • 承上,若   有充足的射影元,則對第一個變數也有長正合序列;換言之,對每個短正合序列  ,有長正合序列
 

譜序列编辑

今設   為含單位元的,並固定一環同態  。則由雙函子的自然同構

 

導出格羅滕迪克譜序列:對每個  -模   -模  ,有譜序列

 

這個關係稱為換底

Ext函子與擴張编辑

Ext 函子得名於它與群擴張的聯繫。抽象地說,給定兩個對象  ,在擴張

 

的等價類與   之間有一一對應,下將詳述。

對任兩個擴張

 
 

可以構造其 Baer 和 ,其中  反對角線)。這在等價類上構成一個群運算,可證明此群自然地同構於  

對更高階的擴張,同樣可定義等價類;對任兩個 n-擴張(n>1)

 
 

此時的 Baer 和定為

 

其中  (反對角線   之定義同上), 。這也在 n-擴張的等價類上構成一個群運算,此群自然同構於  。藉此,能在任何阿貝爾範疇上定義 Ext 函子。

重要例子编辑

  •   為群,取環  ,可以得到群上同調 
  •  局部賦環空間   上的  -模範疇,可以得到層上同調 
  •  李代數,取環   為其泛包絡代數,可以得到李代數上同調 
  •   為域,  -代數,取環    帶有自然的  -模結構,此時得到 Hochschild 上同調: 

文獻编辑

  • Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1