数学定义
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具体地，向量场X 是一个基灵场，如果度量关于 X 李导数 为零：
L
X
g
=
0
.
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=0\,.}
用列维-奇维塔联络 表示，即
g
(
∇
Y
X
,
Z
)
+
g
(
Y
,
∇
Z
X
)
=
0
{\displaystyle g(\nabla _{Y}X,Z)+g(Y,\nabla _{Z}X)=0\,}
对所有的向量Y 与Z 。在局部坐标系 中，这便是基灵方程：
∇
μ
X
ν
+
∇
ν
X
μ
=
0
.
{\displaystyle \nabla _{\mu }X_{\nu }+\nabla _{\nu }X_{\mu }=0\,.}
该条件表示成共变形式，从而只要在一个特定的坐标系中成立就在所有坐标系下成立。
一个基灵场由其在一点的向量和其梯度（即这个场在该点的所有共变导数 ）决定。
两个基灵场的李括号 仍然是一个基灵场。从而流形M 上的基灵场组成了M 上一个李代数 。如果M 紧或者完备 这便是流形的等距同构群 的李代数。
对紧 流形：
负里奇曲率 意味着不存在非平凡 基灵场。
非正里奇曲率，意味着任何基灵场都是平行的，即沿着任何向量场的共变导数恒为零。
如果截面曲率 为正且M 维数为偶，一个基灵场一定有零点。 基灵向量场可以推广到共形基灵向量场，定义为：
L
X
g
=
λ
g
{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g\,}
对某个纯量
λ
{\displaystyle \lambda \,}
共形映射 族的导数是共形基灵场。另一种推广是共形基灵张量场，是一个对称张量 场T ，使得
∇
T
{\displaystyle \nabla T\,}
广义时空几何中的对称性和守恒律
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在广义相对论中，基灵矢量与时空的对称性紧密联系。简单说来，当一个时空流形在特定变换下具有几何不变性时，我们称这种时空流形具有对称性 ；也就是说度规在这种变换下是保持形式不变的。一个张量场 可能会具有多种不同的对称性，例如闵可夫斯基时空 的平直度规在平移变换（包含四种基本对称操作）及洛伦兹变换 （包含六种基本对称操作）下保持不变，即对于闵可夫斯基度规
d
s
2
=
η
μ
ν
d
x
μ
d
x
ν
{\displaystyle ds^{2}=\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\,}
所具有的两种对称性表示为
x
ν
→
x
ν
+
a
ν
{\displaystyle x^{\nu }\to x^{\nu }+a^{\nu }\,}
平移对称性 ）
x
ν
→
Λ
μ
ν
x
ν
{\displaystyle x^{\nu }\to \Lambda _{\mu }^{\nu }x^{\nu }\,}
洛伦兹对称性 ）从闵可夫斯基时空的平移对称性表示中我们可以看到，度规的系数
η
μ
ν
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }\,}
x
ν
{\displaystyle x^{\nu }\,}
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }\,}
x
σ
{\displaystyle x^{\sigma }\,}
∂
σ
g
μ
ν
=
0
{\displaystyle \partial _{\sigma }g_{\mu \nu }=0\,}
μ
{\displaystyle \mu \,}
ν
{\displaystyle \nu \,}
x
σ
{\displaystyle x^{\sigma }\,}
∂
σ
g
μ
ν
=
0
⇒
x
σ
→
x
σ
+
a
σ
{\displaystyle \partial _{\sigma }g_{\mu \nu }=0\qquad \Rightarrow \qquad x^{\sigma }\to x^{\sigma }+a^{\sigma }\,}
平移对称性和动量守恒
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对类时 的测地线 而言，测地线方程 可以写成动量 的形式，即对于粒子的四维动量
p
μ
=
m
U
μ
{\displaystyle p^{\mu }=mU^{\mu }\,}
p
λ
∇
λ
p
μ
=
0
{\displaystyle p^{\lambda }\nabla _{\lambda }p^{\mu }=0}
其中
p
λ
{\displaystyle p^{\lambda }\,}
协变导数 的定义方程等价于
p
λ
∂
λ
p
μ
−
Γ
λ
μ
σ
p
λ
p
σ
=
0
{\displaystyle p^{\lambda }\partial _{\lambda }p_{\mu }-\Gamma _{\lambda \mu }^{\sigma }p^{\lambda }p_{\sigma }=0\,}
左边第一项的含义是动量如何沿测地线变化：
p
λ
∂
λ
p
μ
=
m
d
x
λ
d
τ
∂
λ
p
μ
=
m
d
p
μ
d
τ
{\displaystyle p^{\lambda }\partial _{\lambda }p_{\mu }=m{\frac {dx^{\lambda }}{d\tau }}\partial _{\lambda }p_{\mu }=m{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}\,}
而第二项可以化为如下形式：
Γ
λ
μ
σ
p
λ
p
σ
=
1
2
g
σ
ν
(
∂
λ
g
μ
ν
+
∂
μ
g
ν
λ
−
∂
ν
g
λ
μ
)
p
λ
p
σ
=
1
2
(
∂
λ
g
μ
ν
+
∂
μ
g
ν
λ
−
∂
ν
g
λ
μ
)
p
λ
p
ν
=
1
2
(
∂
μ
g
ν
λ
)
p
λ
p
ν
{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma _{\lambda \mu }^{\sigma }p^{\lambda }p_{\sigma }&={\frac {1}{2}}g^{\sigma \nu }\left(\partial _{\lambda }g_{\mu \nu }+\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }-\partial _{\nu }g_{\lambda \mu }\right)p^{\lambda }p_{\sigma }\\&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\lambda }g_{\mu \nu }+\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }-\partial _{\nu }g_{\lambda \mu }\right)p^{\lambda }p^{\nu }\\&={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }\right)p^{\lambda }p^{\nu }\end{aligned}}}
其中第二步到第三步是用了
p
λ
p
ν
{\displaystyle p^{\lambda }p^{\nu }\,}
m
d
p
μ
d
τ
=
1
2
(
∂
μ
g
ν
λ
)
p
λ
p
ν
{\displaystyle m{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }g_{\nu \lambda }\right)p^{\lambda }p^{\nu }\,}
从这个方程我们可知，对于度规
g
ν
λ
{\displaystyle g_{\nu \lambda }\,}
μ
{\displaystyle \mu \,}
μ
{\displaystyle \mu \,}
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }\,}
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }\,}
∂
σ
g
μ
ν
=
0
⇒
d
p
σ
d
τ
=
0
{\displaystyle \partial _{\sigma }g_{\mu \nu }=0\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {dp_{\sigma }}{d\tau }}=0\,}
这个守恒律虽然是从类时的测地线得到的，它对所有的测地线都成立。
基灵矢量
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我们在上节中看到，当度规与坐标的某一个分量无关时，度规在这个分量上则具有平移对称性。现在从这个事实出发将其写成协变的形式，即当一个一般的度规
g
μ
ν
{\displaystyle g_{\mu \nu }\,}
x
σ
{\displaystyle x^{\sigma }\,}
∂
σ
{\displaystyle \partial _{\sigma }\,}
K
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}\,}
K
=
∂
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\partial _{\sigma }\,}
推导中一般写成分量的形式：
K
μ
=
(
∂
σ
)
μ
=
δ
σ
μ
{\displaystyle {K}^{\mu }=\left(\partial _{\sigma }\right)^{\mu }=\delta _{\sigma }^{\mu }\,}
这里我们称
K
μ
{\displaystyle {K}^{\mu }}
p
σ
=
K
ν
p
ν
{\displaystyle p_{\sigma }={K}^{\nu }p_{\nu }\,}
从前文的推导我们已知，若
p
μ
{\displaystyle p^{\mu }\,}
方向导数 为零，用生成矢量的形式写出来则得到
d
p
σ
d
τ
=
0
⇔
p
μ
∇
μ
(
K
ν
p
ν
)
=
0
{\displaystyle {\frac {dp_{\sigma }}{d\tau }}=0\qquad \Leftrightarrow \qquad p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu }p^{\nu }\right)=0\,}
将右面的式子作展开得到
p
μ
∇
μ
(
K
ν
p
ν
)
=
p
μ
∇
μ
K
ν
p
ν
+
p
μ
p
ν
∇
μ
K
ν
=
p
μ
p
ν
∇
μ
K
ν
=
p
μ
p
ν
∇
(
μ
K
ν
)
{\displaystyle {\begin{aligned}p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu }p^{\nu }\right)&=p^{\mu }\nabla _{\mu }{K}_{\nu }p^{\nu }+p^{\mu }p^{\nu }\nabla _{\mu }K_{\nu }\\&=p^{\mu }p^{\nu }\nabla _{\mu }K_{\nu }\\&=p^{\mu }p^{\nu }\nabla _{(\mu }K_{\nu )}\end{aligned}}}
从第一步到第二步中第一项消去的原因是测地线方程，而第二步到第三步是由于
μ
{\displaystyle \mu \,}
ν
{\displaystyle \nu \,}
由此可得到结论：对于任何满足方程
∇
(
μ
K
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu )}=0\,}
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
K
ν
p
ν
{\displaystyle K_{\nu }p^{\nu }\,}
∇
(
μ
K
ν
)
=
0
⇒
p
μ
∇
μ
(
K
ν
p
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu )}=0\qquad \Rightarrow \qquad p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu }p^{\nu }\right)=0\,}
左面的方程
∇
(
μ
K
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu )}=0\,}
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
K
=
∂
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\partial _{\sigma }\,}
K
=
∂
σ
{\displaystyle {\boldsymbol {K}}=\partial _{\sigma }\,}
从基灵矢量的概念可进一步推广到基灵张量，即满足方程
∇
(
μ
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{(\mu }K_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l})}=0\,}
的
l
{\displaystyle l\,}
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
{\displaystyle K_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}\,}
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
p
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
{\displaystyle {K}_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}p^{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}\,}
p
μ
∇
μ
(
K
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
p
ν
1
ν
2
.
.
.
ν
l
)
=
0
{\displaystyle p^{\mu }\nabla _{\mu }\left({K}_{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}p^{\nu _{1}\nu _{2}...\nu _{l}}\right)=0\,}
度规本身就是一个基灵张量，在膨胀宇宙模型 中，弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规 也具有类时的基灵张量。
基灵矢量的协变导数 与黎曼张量 直接联系，彼此关系为
∇
μ
∇
σ
K
ρ
=
R
σ
μ
ν
ρ
K
ν
{\displaystyle \nabla _{\mu }\nabla _{\sigma }K^{\rho }=R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }K^{\nu }\,}
与里奇张量 的关系为
∇
μ
∇
σ
K
μ
=
R
σ
ν
K
ν
{\displaystyle \nabla _{\mu }\nabla _{\sigma }K^{\mu }=R_{\sigma \nu }K^{\nu }\,}
从这两个关系、比安基恒等式 以及基灵方程可推出里奇标量 在沿基灵矢量场的方向导数为零，这是其度规在这些方向上具有几何不变性的体现：
K
λ
∇
λ
R
=
0
{\displaystyle K^{\lambda }\nabla _{\lambda }R=0\,}
类时的基灵矢量
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动量守恒是空间平移不变性的体现，而能量守恒则是时间平移不变性的体现。借助于一个类时的基灵矢量我们能够定义一个全部时空的守恒能量：从基灵矢量
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
T
μ
ν
{\displaystyle T_{\mu \nu }\,}
J
μ
=
K
ν
T
μ
ν
{\displaystyle J^{\mu }=K_{\nu }T^{\mu \nu }\,}
这个流是一个守恒量：
∇
μ
J
μ
=
(
∇
μ
K
ν
)
T
μ
ν
+
K
ν
(
∇
μ
T
μ
ν
)
=
0
{\displaystyle \nabla _{\mu }J^{\mu }=\left(\nabla _{\mu }K_{\nu }\right)T^{\mu \nu }+K_{\nu }\left(\nabla _{\mu }T^{\mu \nu }\right)=0\,}
第一项为零是由于基灵方程，而第二项为零是由于
T
μ
ν
{\displaystyle T_{\mu \nu }\,}
当
K
ν
{\displaystyle K_{\nu }\,}
类空 的超平面
Σ
{\displaystyle \Sigma \,}
E
=
∫
Σ
J
μ
n
μ
γ
d
3
x
{\displaystyle E=\int _{\Sigma }J^{\mu }n_{\mu }{\sqrt {\gamma }}\,d^{3}x\,}
其中
γ
i
j
{\displaystyle \gamma _{ij}\,}
Σ
{\displaystyle \Sigma \,}
诱导度规 ，而
n
μ
{\displaystyle n_{\mu }\,}
柯玛质量 的定义，在膨胀宇宙模型中时空中的总能量一般并不是守恒的，这与膨胀宇宙的度规是时间的函数有关。如果存在一个类时的基灵矢量，则度规与时间无关，从而存在一个守恒的能量定义。
参考资料
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Sean M. Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity (Hardcover). Benjamin Cummings. 2003. ISBN 978-0805387322（英语） . Jost, Jurgen. Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Berlin: Springer-Verlag. 2002. ISBN 3-540-42627-2 （英语） . Adler, Ronald; Bazin, Maurice & Schiffer, Menahem. Introduction to General Relativity (Second Edition). New York: McGraw-Hill. 1975. ISBN 0-07-000423-4 （英语） . Misner, Thorne, Wheeler. Gravitation. W H Freeman and Company. 1973. ISBN 0-7167-0344-0 （英语） . 
