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LQG控制(linear–quadratic–Gaussian control)的全名是線性二次高斯控制,是控制理论中的基礎最优控制問題之一。此問題和存在加性高斯白噪声線性系統有關。此問題是要找到最佳的輸出回授律,可以讓二次費用函數的期望值最小化。其輸出量測假設受到高斯噪声的影響,其初值也是高斯隨機向量。

在「使用線性控制律」的最佳控制假設下,可以用completion-of-squares論述進行推導[1]。此控制律即為LQG控制器,就是卡尔曼滤波(線性二次狀態估測器,LQE)和LQR控制器的結合。分離原理指出狀態估測器和狀態回授可以獨立設計。LQG控制可以應用在线性时不变系统及线性時變系統,產生容易計算以及實現的線性動態回授控制器。LQG控制器本身是一個類似其受控系統的動態系統,兩者有相同的維度。

根據分離原理,在一些範圍較寬可能是非線性的控制器中,LQG控制器仍然是最佳的。也就是說「使用非線性控制架構不一定可以改善費用泛函的期望值」。這個版本的分離原理是隨機控制的分離原理(separation principle of stochastic control)提到就算過程及輸出雜訊源可能是非高斯,只要其系統動態是線性的,其最佳控制仍可以分離為最佳狀態估測器(不再是卡尔曼滤波器)及LQR控制器[2][3]。LQR控制器也有用來控制擾動的非線性系統[4]

問題和解的數學描述编辑

連續時間编辑

考慮連續時間的線性動態系統

 
 

其中 是系統狀態變數的向量, 是控制輸入向量, 是輸出量測值的向量,可用在回授上。系統受到加成性的高斯系統雜訊 及加成性的高斯量測雜訊 所影響。給定一系統,其目標是找到一控制輸入 ,此控制輸入在每個時間 下,和以往的量測量 有線性關係,而且此控制輸入可以讓以下的費用函數有最小值:

 
 

其中 期望值。最終時間() 可能是有限值或是無限值。若最 終時間為無限,則費用函數的第一項 可以忽略,和問題無關。而為了要讓費用函數為有限值,會定義費用函數為 

求解上述LQG問題的LQG控制器可以用以下方程表示:

 
 

矩陣 稱為卡尔曼增益(Kalman gain),和第一個方程卡尔曼滤波有關。在時間 ,濾波器會根據過去量測及輸入來產生狀態 的估測值 。卡尔曼增益 是根據 、二個和白色高斯雜訊有關密度矩陣  及最後的 來計算。這五個矩陣會透過以下的矩陣Riccati微分方程來決定卡尔曼增益:

 
 

假設其解 ,則卡尔曼增益等於

 

矩陣 稱為回授增益(feedback gain)矩陣,是由  矩陣,透過以下的矩陣Riccati微分方程來決定

 
 

假設其解 ,回授增益等於

 

觀察上述二個矩陣Riccati微分方程,第一個沿時間從前往後算,而第二個是沿時間從後往前算,這稱為「對偶性」。第一個矩陣Riccati微分方程解了線性平方估測問題(LQE),第一個矩陣Riccati微分方程解了LQR控制器問題。這二個問題是對偶的,合起來就解了線性平方高斯控制問題(LQG),因此LQG問題分成了LQE問題以及LQR問題,且可以獨立求解,因此LQG問題是「可分離的」。

 和雜訊密度矩陣 ,  不隨時間變化 ,且 趨於無限大時,LQG控制器會變成非時變動態系統。此時上述二個矩陣Riccati微分方程會變成代數Riccati方程英语algebraic Riccati equation

離散時間编辑

離散時間的LQG控制問題和連續時間下的問題相近,因此以下只關注其數學式。

離散時間的線性系統方程為

 
 

其中 是離散時間, 是離散時間高斯白雜訊過程,其共變異數矩陣為 

要最小化的二次費用函數為

 
 

離散時間的LQG控制器為

 ,
 

卡尔曼增益等於

 

其中 是由以下依時間往前進的矩陣Riccati差分方程所決定:

 

回授增益矩陣為

 

\ 其中 是由以下時間從後往前算的矩陣Riccati差分方程所決定:

 

若問題中所有的矩陣都是非時變的,且時間長度 趨近無窮大,則離散時間的LQG控制器就是非時變的。此時矩陣Riccati差分方程可以用離散時間的代數Riccati方程英语algebraic Riccati equation取代。可以決定非時變的離散線性二次估測器,以及非時變的離散LQR控制器。為了讓費用是有限值,會用 來代替 

降階LQG問題编辑

在傳統LQG設定中,當系統維度很大時,實現LQG控制器會有困難。降階LQG問題(reduced-order LQG problem)也稱為固定階數LQG問題(fixed-order LQG problem)先設定了LQG控制的狀態數。因為分離原理已不適用,此問題會更不容易求解,而且其解也不唯一。即使如此,降階LQG問題已有不少的數值演算法[5][6][7][8]可以求解相關的最佳軌跡問題英语optimal projection equations[9][10],其中建構了局部最佳化的降階LQG問題的充份及必要條件[5]

LQG控制的強健性编辑

LQG最佳化本身不確保有良好的強健性[11],需要在設計好LQG控制後,另外確認閉迴路系統的強健穩定性。為了提昇系統的強健性,可能會將一些系統參數由確定值改假設是隨機值。相關的控制問題會更加複雜,會得到一個類似的最佳控制器,只有控制器參數不同[6]

相關條目编辑

參考資料编辑

  1. ^ Karl Johan Astrom. Introduction to Stochastic Control Theory 58. Academic Press. 1970. ISBN 0-486-44531-3. .
  2. ^ Anders Lindquist. On Feedback Control of Linear Stochastic Systems. SIAM Journal on Control. 1973, 11: 323––343. .
  3. ^ Tryphon T. Georgiou and Anders Lindquist. The Separation Principle in Stochastic Control, Redux. IEEE Transactions on Automatic Control. 2013, 58 (10): 2481––2494. doi:10.1109/TAC.2013.2259207. .
  4. ^ Athans M. The role and use of the stochastic Linear-Quadratic-Gaussian problem in control system design. IEEE Transaction on Automatic Control. 1971, AC–16 (6): 529–552. doi:10.1109/TAC.1971.1099818. 
  5. ^ 5.0 5.1 Van Willigenburg L.G.; De Koning W.L. Numerical algorithms and issues concerning the discrete-time optimal projection equations. European Journal of Control. 2000, 6 (1): 93–100. doi:10.1016/s0947-3580(00)70917-4.  Associated software download from Matlab Central.
  6. ^ 6.0 6.1 Van Willigenburg L.G.; De Koning W.L. Optimal reduced-order compensators for time-varying discrete-time systems with deterministic and white parameters. Automatica. 1999, 35: 129–138. doi:10.1016/S0005-1098(98)00138-1.  Associated software download from Matlab Central.
  7. ^ Zigic D.; Watson L.T.; Collins E.G.; Haddad W.M.; Ying S. Homotopy methods for solving the optimal projection equations for the H2 reduced order model problem. International Journal of Control. 1996, 56 (1): 173–191. doi:10.1080/00207179208934308. 
  8. ^ Collins Jr. E.G; Haddad W.M.; Ying S. A homotopy algorithm for reduced-order dynamic compensation using the Hyland-Bernstein optimal projection equations. Journal of Guidance Control & Dynamics. 1996, 19 (2): 407–417. doi:10.2514/3.21633. 
  9. ^ Hyland D.C; Bernstein D.S. The optimal projection equations for fixed order dynamic compensation. IEEE Transaction on Automatic Control. 1984, AC–29 (11): 1034–1037. doi:10.1109/TAC.1984.1103418. 
  10. ^ Bernstein D.S.; Davis L.D.; Hyland D.C. The optimal projection equations for reduced-order discrete-time modeling estimation and control. Journal of Guidance Control and Dynamics. 1986, 9 (3): 288–293. doi:10.2514/3.20105. 
  11. ^ Green, Michael; Limebeer, David J. N. Linear Robust Control. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 1995: 27. ISBN 0-13-102278-4. 

延伸閱讀编辑