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在数学中,梅林变换是一种以幂函数为核的积分变换。定义式如下:

而其逆变换为

梅林变换有许多应用,例如可以证明黎曼ζ函数函数方程

與其他變換之關係编辑

雙邊拉普拉斯變換编辑

雙邊拉普拉斯變換可以用梅林變換來表示,如下式

 

梅林變換也可以用雙邊拉普拉斯變換來表示,如下式

 

傅立葉變換编辑

傅立葉變換可以用梅林變換來表示,如下式

 

梅林變換變換也可以用傅立葉來表示,如下式

 

範例编辑

Cahen–Mellin 積分编辑

對於   ,且  在主要分支(principal branch)上,我們有

 

其中  為 Γ函數。

數論编辑

假設

 

我們有

 

其中

 

圓柱坐標系下的拉普拉斯算子编辑

在任何維度的圓柱坐標系中,拉普拉斯算子總是會包含下式

 

例如,拉普拉斯算子在二維空間的極坐標表示法

 

或是在三維空間的柱坐標表示法

 

而利用梅林變換可以很簡單的處理此項

 
 

舉例來說,二維拉普拉斯方程的極坐標表示法具有以下形式

 

或是

 

利用梅林變換,可以轉換成一個簡諧振子的形式

 

通解為

 

若給定邊界條件

 

其梅林變換為

 

則通解可以寫成

 

最後利用逆變換以及卷積定理

 

其中

 

可以得到

 

参考文献编辑

  • Galambos, Janos; Simonelli, Italo. Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. Marcel Dekker, Inc. 2004. ISBN 0-8247-5402-6.