Miura变换

Miura变换是R.M.Miura等数学家在1968年发现的KdV方程与MKdV方程的变换关系

KdV方程：:$u_{t}-6uu_{x}+u_{xxx}=0$

mKdV方程：$mKdVEq:=v_{t}-6v^{2}v_{x}+v_{xxx}=0$

将 Miura 变换$u=v^{2}+v_{x}$代人KdV方程，得

Eqk:$2vv_{t}+v_{tx}+2vv_{xxx}-12v^{3}v_{x}-12vv_{x}^{2}-6v_{xx}v^{2}+v_{xxxx}=0$

令 Eqm:$2vmKdVEq+{\frac {\partial (mKdVEq)}{\partial x}}=0$ 得：

Eqm:$2vv_{t}+v_{tx}+2vv_{xxx}-12v^{3}v_{x}-12vv_{x}^{2}-6v_{xx}v^{2}+v_{xxxx}=0$

显然， Eqk 和 Eqm 是相同的。

利用Miura变换求MKdV方程的解。

KdV方程 的一个平凡解为

$u(x,t)=1$

代人Miura变换得 $v(x,t)^{2}+v(x,t)_{x}=1$

解：$v(x,t)=\tanh(x+F(t))$

其中F(t)为 t 的任意函数。