迈希尔-尼罗德定理

(重定向自Myhill-Nerode定理

形式语言理论中,Myhill–Nerode 定理提供了一个语言是正则语言必要和充分条件。它近乎专门的被用来证明一个给定语言不是正则的。

这个定理得名于 John MyhillAnil Nerode,他们于1958年在芝加哥大学证明了这个定理[1]

定理陈述编辑

给定一个字母集 (alphabet)   以及其生成的语言 (language)  ,我們先來定義兩個字串   之間彼此的關係:如果對於所有的後接字串   (注意!  可以是空字串) 都會讓    同時屬於或不屬於  ,那麼我們說    不可區分 (indistinguishable);相反地如果存在某個後接字串     其中一個屬於而另外一個不屬於  ,則我們說    是可區分的 (distinguishable)。如果    不可區分,我們說它們滿足關係 (relation)  ,數學式子寫成  。我們也很容易证明這種關係是種等价关系 (equivalence relation),因此它可以把   划分成一个或多个等价类 (equivalence class)。

Myhill–Nerode 定理声称一套語言   是正規的「若且唯若」   所切分出的等价类数目是有限的,此外這個等價類數量又恰好是可辨識   的最小 DFA 的狀態數量。在詳細的證明中「一個等價類會恰好對應到最小 DFA 裡的一個狀態」,如果先給定一个自动机,则任意兩個能驱使它走到同一個状态的字串    必在同一个等价类中;如果先給定一個等价类划分,那可以轻易地构造出一个自动机使其状态恰好對應到等价类。

定理證明编辑

  • 方向一:如果    所切分出的等价类数目是無限多的,那麼語言   無法正規

這個方向比較簡單,我們只要證明一個引理 (lemma):可辨識   的 DFA 狀態數量必須不小於等價類數目即可,而這可以使用反證法 (鴿籠原理) 說明。如果 DFA 狀態數量少於等價類數量,那代表必定有兩個不屬於同一個等價類的字串    會引導 DFA 到同一個狀態,如果它們又繼續有後接字串  ,就會讓    也走到同一個狀態,如此一來根據定義,   應該要屬於同一個等價類,造成矛盾,因此 DFA 狀態數量必須不小於等價類數目。由這個結論可以推得,當等价类数目無限多時,這個 DFA 的狀態數量也必須是無限多,和「有限」狀態機的定義矛盾,換句話說我們找不到一台 DFA 可辨識  ,因此   不正規。

  • 方向二:如果    所切分出的等价类数目是有限的,那麼必存在一台同等數量狀態的 DFA 可辨識   使其正規

我們先構造出一台 DFA,先假設它的每一個狀態都剛好代表一個等價類 (也就是一個狀態承裝一個等價類裡的所有字串,從起點開始輸入該字串務必到達該狀態),而轉移函數的決定方式就是從一個狀態隨意抓取一個代表字串,看看它吃了一個字母之後的字串會落在哪個狀態裡面,就讓它走去那裏。這個走向會唯一,理由很簡單可以自己想。對於每個狀態和每個轉移字母都窮舉一遍,最後再觀察哪些狀態包含了被接受的字串,直接讓它們變成終點態 (final state)。一個等價類裡如果有一個字串被接受,那同一個類裡的所有其他字串也會通通被接受,因為根據定義,後接字串可以是空字串。到目前為止,我們有了一定數量的狀態 (圓圈圈)、所有的轉移函數、一個唯一的起點 (看空字串在哪裡即可)、所有的終點,是一台合法的 DFA。現在的問題是,要怎麼證明這台 DFA 能確實辨識  ,也就是說對於任意字串輸入都能驅使 DFA 走到我們當初賦予每個狀態必須各自代表一個等價類的任務?

這必須對字串輸入的長度作數學歸納法才能證明。如果字串輸入長度為 0,也就是空字串,那它必須留在起點,而我們起點的取法就剛好是看空字串的位置,所以輸入為空字串時的狀態落點正確;如果對於所有長度不超過   的字串輸入,它們的狀態落點皆正確,那麼對於任何長度為   的字串輸入  ,皆可分解為  ,其中   的長度為    的長度為   (字元),走完   之後的落點根據假設是正確的,剩下的一個字元   根據我們上述決定轉移函數的方式,自然也會繼續走向我們當初所期望的落點;如此依序遞迴下去,就能說明對於任意字串輸入,這台 DFA 確實能妥善的把   裡的每個字串分到正確的類別,並決定接受與否。於是乎我們根據這個   創造了一台能辨識   的 DFA,而且這台 DFA 的狀態數量剛好就是    所切分出的等价类數量。[2]

用途和结论编辑

Myhill–Nerode 定理的一个结论是语言 L 是正则的(就是说可被有限状态机接受),当且仅当 RL 的等价类的数目是有限的。

直接推论是如果一个语言定义等价类的无限集合,它就不是正则的。这个推论经常被用来证明一个语言不是正则的。

例如,由可以被 3 整除的二进制数组成的语言是正则的。有三个等价类 3 - 被 3 除的时候余数是 0, 1 和 2 的数。接受这个语言的极小自动机有对应于等价类的三个状态。

再給一例,我們想說明   不是正規的。原因是,給定任意兩個不同長度的   字串,我們都能接上一個後接字串將這兩個字串分辨開來,舉例來說,給定   ,我們就能接上    合法而   不合法。所以有無限多個字串     、... 等彼此之間都是不可分辨的,這意味著需要無限多個狀態的自動機才能辨識這個語言,和正規語言定義矛盾,因此   不是正規語言。

引用编辑

註釋编辑

  1. ^ A. Nerode, "Linear automaton transformations", Proceedings of the AMS, 9 (1958) pp 541-544.
  2. ^ Edmund M. Clarke, Myhill-Nerode Handout (2009)

一般參考编辑