TSQR

TSQR是针对高瘦(tall and skinny)矩阵QR的分解。这类矩阵有着行(Row)远大于列(Column)的特点， 高瘦(TS)矩阵往往常见于评价系统，评价的项目少于评价的人数等。

TSQR分解和普通的QR分解的区别在于，TSQR的分解可以进行并行加速。

TS矩阵

TS矩阵的特点是行(Row) $\gg$ 列(Column)。 如下图$A$就是一个典型的TS矩阵。

$A_{m\times n}={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1i}&\cdots &a_{in}\\\vdots &\ddots &\vdots &&\vdots \\a_{i1}&\cdots &a_{ii}&\cdots &a_{in}\\\vdots &&\vdots &\ddots &\vdots \\a_{j1}&\cdots &a_{ji}&\cdots &a_{jn}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mi}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}$

这里 $m\gg n$。

TSQR分解的方法优劣比较

TSQR分解主要依赖于QR分解，有以下三种方法的详细介绍和例子说明，以下将详细比较三种方法的优劣势作用于TS矩阵。

Householder变换

针对Householder变换，其优势在于计算的时间复杂度较低，一次变换可以将一整个列除了首个元素都化成0，但是对数据的依赖度较高，不容易进行并行化计算，但是该方法对于稠密矩阵，相比于以下两种方法，计算效率会更高。

豪斯霍尔德变换示意图：向量x在豪斯霍尔德向量v的超平面$\mathbf {v} ^{\perp }$上的镜像是Hx，H是豪斯霍尔德矩阵。

吉文斯旋转

针对吉文斯旋转，其优势在于对于数据的依赖性较低，可以很好的并行化，对于稀疏矩阵有很大的优势。缺点在于其时间复杂度较高，一次只能对两行做吉文斯旋转。

格拉姆-施密特正交化方法

格拉姆-施密特正交化方法对于并行化计算并不友好，它的优势在于算法理解其他直观，时间复杂度介于Householder变换和吉文斯旋转之间。

并行TSQR分解

基本思想

利用矩阵分块的思想，对于TS矩阵进行切割，从而对若干个子块矩阵进行分而治之。

TSQR分解算法

$A_{m\times n}={\begin{bmatrix}a_{1,1}&\cdots &a_{1,n}\\\vdots &&\vdots &\\a_{i,1}&\cdots &a_{i,n}\\a_{i+1,1}&\cdots &a_{i+1,n}\\\vdots &&\vdots &\\a_{m,n}&\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}}$

我们将$A_{m\times n}$拆成若干个子矩阵（这里拆成2个）$A_{1}{m_{1}\times n_{1}}$和 $A_{2}$，$A_{1},A_{2}$的维度分别是$m_{1}\times n_{1},m_{2}\times n_{2}$, 注意拆开的子矩阵要保证行数仍然大于列数，即 $m_{1}>n_{1},m_{2}>n_{2}$。

我们分别对$A_{1}$和 $A_{2}$做QR分解。

$A_{1}=Q_{1}R_{1}$

$A_{2}=Q_{2}R_{2}$

此时的QR分解是完全可以并行的。 我们再将$R_{1},R_{2}$合并并惊醒QR分解

${\hat {R}}={\begin{bmatrix}R_{1}\\R_{2}\end{bmatrix}}=Q_{11}{\begin{bmatrix}R_{11}\\0\end{bmatrix}}$

此时的 $R_{11}$ 便是我们所需要的最后分解所得的 $R$。

例子

我们现在需要分解如下矩阵

$A={\begin{bmatrix}0&3&1\\0&4&-2\\2&1&1\\1&2&4\\0&0&5\\0&3&6\\\end{bmatrix}}$

现在将其分解成两个矩阵$A_{1},A_{2}$，并对其做相应的QR分解。

$A_{1}=Q_{1}R_{1}={\begin{bmatrix}0&3&-4\\0&4&3\\5&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2&1&2\\0&5&-1\\0&0&-2\\\end{bmatrix}}$

$A_{2}=Q_{2}R_{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2&4\\0&3&6\\0&0&5\\\end{bmatrix}}$

那么

${\hat {R}}={\begin{bmatrix}R_{1}\\R_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1&2\\0&5&-1\\0&0&-2\\1&2&4\\0&3&6\\0&0&5\\\end{bmatrix}}$

我们对${\hat {R}}$进行QR分解，

${\hat {R}}=Q_{11}R_{11}=Q_{11}$

$R=Q_{11}={\begin{bmatrix}-2.2360&-1,7888&-3.5777\\0&-5.9833&-2.7743\\0&0&8.0933\\\end{bmatrix}}$

优势

上述的TSQR和普通的QR分解的优势在于:

1）不同于QR分解，此类的QR分解是可以高度并行化的；

2）在并行阶段，其特殊的上三角形式也可以用并行的方式进行加速。

用途

快速求解奇异值分解（SVD）

对于一个TS矩阵$A_{m\times n}$求解其SVD，我们可以先对矩阵$A$做TSQR分解。那么

$A=QR$

我们在对$R$做SVD分解 ,相比于直接做SVD，这样做的好处在于$R$的维度是 $n\times n$, 所以速度会快很多。

$R={\tilde {U}}\Sigma V$

所以最后只需要$U$计算

$U=Q{\tilde {U}}$

就可以得到所有的特征量向量