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x²+1素数问题是一個未解决的数学问题,其陳述為:是否有无穷个正整数x,使得x²+1為素数?

這個問題得到许多数论学者的關注。有學者認為這個問題比孪生素数猜想更加困难,因为在正整数中,形如x²+1的数比p+2稀少,所以x²+1为素数的概率更小。[1]

10000以內的x²+1素数為(OEISA002496):2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837。

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歷史编辑

在1912年的国际数学家大会上,愛德蒙·蘭道就素數理論的發展和黎曼ζ函數作演說,當中他提到有四個關於素數的問題,是“以目前的科學狀況無法攻克”的。第四個問題便是:“函數u²+1在u取整數值時是否給出了無窮多個質數?”[2]

推論编辑

更一般地,設f(x)=ax^2+bx+c為整系數二次函數。可以證明,若f(x)能取無窮多次的質數值,那麼a, b, c須符合以下條件:

  1. a, b, c的最大公约数為1
  2. a+b和c不能都是偶数
  3. b²-4ac不是完全平方数

一個廣義化的猜想便是,若a為正數且a, b, c符合上述3個條件,那麼f(x)便能取無窮多次的質數值(見布尼亚科夫斯基猜想)。[3]

進展编辑

1923年,英國數學家哈代李特爾伍德猜測[2]

 

根據弗里德蘭德-伊萬涅茨定理英语Friedlander–Iwaniec theorem,存在無窮多個形如 的質數。

在1978年,亨里克·伊万涅茨英语Henryk Iwaniec證明了存在無窮多個x,使得 至多是兩個質數的積。

X²+1合数与佩尔方程编辑

由于问题的困难,人们开始关注X²+1合数,企图从X²+1合数的蛛丝马迹中寻找X²+1素数。[來源請求]发现许许多多X²+1合数有平方因子

例如:18²+1=325=5²×13;32²+1=1025=5²×41;38²+1=1445=5×17²;68²+1=4625=5³×37;70²+1=4901=13²×29;....。

这是一个佩尔方程形式:

 

38²-5×17²=-1;70²-29×13²=-1。

註釋编辑

  1. ^ “10000个科学难题”数学编委会 編. 10000个科学难题(数学卷). 科学出版社. 2009: 102. ISBN 9787030242679. 
  2. ^ 2.0 2.1 János Pintz. LANDAU'S PROBLEMS ON PRIMES (PDF). [2014-10-25]. (原始内容存档 (PDF)于2013-10-30). 
  3. ^ 《数学辞海》编辑委员会 编. 數學辭海(第六卷). 山西教育出版社、中國科學技術出版社、東南大學出版社. 2002: 660. ISBN 9787544024013. (原始内容存档于2014-10-25). 

参考文献编辑

参见编辑