加法逆元（additive inverse）又称相反数（opposite）、反数，其定义是对于任意数a{\displaystyle a}，存在相反数满足其与a{\displaystyle a}的和为零（加法单位元）；a{\displaystyle a} 的加法逆元表示为 −a{\displaystyle -a}。
在实数中，数a{\displaystyle a}的相反数−a{\displaystyle -a}，称为其加法逆元；相对地，数a{\displaystyle a}的倒数1a{\displaystyle {\frac {1}{a}}}或a−1{\displaystyle a^{-1}}，则称为其乘法逆元。
设“+”为一个交换性的二元运算，即对于所有x{\displaystyle x} , y{\displaystyle y} , x+y=y+x{\displaystyle x+y=y+x} 。若该集合中存在一个元素0{\displaystyle 0} ，使得对于所有x{\displaystyle x} , x+0=0+x=x{\displaystyle x+0=0+x=x} ，则此元素是唯一的。如果对于一个给定的x{\displaystyle x} ，存在一个x′{\displaystyle x'} 使得x+x′=x′+x=0{\displaystyle x+x'=x'+x=0} ，则称x′{\displaystyle x'} 是x{\displaystyle x} 的加法逆元。
若“+”满足结合律，则任意数的加法逆元是唯一的。
反证法： 设x{\displaystyle x} 有两个相异的加法逆元x1{\displaystyle x_{1}} 、x2{\displaystyle x_{2}} 有x=x+0{\displaystyle x=x+0} 的关系。 ⇒ 0=x+x1=x+x2{\displaystyle 0=x+x_{1}=x+x_{2}} ⇒ x1=x2{\displaystyle x_{1}=x_{2}} 产生矛盾，证讫。
