失踪的正方形

失踪的正方形谜题是一种数学上的视错觉，有助于学生对几何图形的思考。它描述两种面积板块形状组合，每个不同颜色多边形部分，看似都构成一个原底方格所绘的13X5直角三角形之一部分，不同的差异是重新组合排列后，其中一个里头相差了似乎1个1x1的孔。

解释

根据美国业余数学大师马丁·加德纳指出，本谜题是在1953年是由纽约市业余魔术师保罗·嘉理（Paul Curry）发明的。不过裁切悖论的原理自从1860年代就已为数学家所知了。

这谜题的关键是两个分割三角形，看似“13x5的直角三角形”的两部分，但实际上只是因为误差小到令视觉看起来并无差异，这组出来的“13x5的直角三角形”，其实是凹斜边三角形与凸斜边三角形，目测不容易察觉到红色和蓝色三角形斜边的斜率有差别（其构成的夹角约为178°45′，接近却不是平角）。 因此误以为两个组合成的图形，皆是外围大直角三角形，所取斜边分割的两部分。

四个图形（黄色、红色、蓝色和绿色图形）总共占32个单位面积，但是外面总“三角形”是宽13高5，合计32.5单位。蓝色三角形长宽比为5:2，红色三角则是8:3，并不是同一个长宽比。因此在每个图中外观上加成后的“斜边”实际上缩短了。

总共缩短的长度大约是一单位的28分之一，这在此谜题示例图上很难以看出。注意在蓝色红色斜边交界处的网格点，如果将它与另一张图的对应交界点比较，边缘稍稍溢出或者低于格点。来自两张图重叠后溢出的斜边导致一个非常细微的平行四边形，占据了刚好一格大小的面积，恰恰是第二张图“消失”的区域。

变种

消失的小正方形谜题

森姆·莱特的悖论裁切

8乘以21版本，角ABC约等于179°31′，近乎平角而不是平角

本谜题另类且较简单的版本（在动画里显示）使用四个相等的四边形以及一个小正方形，则组成一个较大的正方形。当四边形绕着其中心旋转，中间的小正方形将被填满，即使该图的总面积看起来没有变动。这外表上的悖论可由新形成的方形四边较原来的小了一点。如果 $a$ 代表大正方形的四边和，且$\theta$ 是每个四边形相对边间的夹角，那两个旋转前旋转后方块面积间相除的商结果是$\sec ^{2}\theta -1$。对于$\theta =5^{\operatorname {\mathrm {o} } }$，结果大约是1.00765，故对应的差异大约0.8%。

外部链接

• （英文）嘉理的悖论：这怎么可能？（页面存档备份，存于互联网档案馆） 于Cut-the-Knot
• （英文）三角形与悖论（页面存档备份，存于互联网档案馆） 于 archimedes-lab.org
• （英文）三角问题或者平淡无奇的现实不对劲之处
• （英文）拼图悖论（页面存档备份，存于互联网档案馆）