布拉格定律

在物理学中，布拉格定律给出晶格的相干及不相干散射角度。当X射线入射于原子时，跟任何电磁波一样，它们会使电子云移动。电荷的运动把波动以同样的频率再发射出去（会因其他各种效应而变得有点模糊）；这种现象叫瑞利散射（或弹性散射）。散射出来的波可以再相互散射，但这种进级散射在这里是可以忽略的。当中子波与原子核或不成对电子的相干自旋进行相互作用时，会发生一种与上述电磁波相近的过程。这些被重新发射出来的波来相互干涉，可能是相长的，也可能是相消的（重叠的波某程度上会加起来产生更强的波峰，或相互消抵），在探测器或底片上产生衍射图样。而所产生的波干涉图样就是衍射分析的基本部分。这种解析叫布拉格衍射。

布拉格衍射（又称X射线衍射的布拉格形式），最早由威廉·劳伦斯·布拉格及威廉·亨利·布拉格于1913年提出，他们早前发现了固体在反射X射线后产生的晶体线（与其他物态不同，例如液体），而这项定律正好解释了这样一种效应。他们发现，这些晶体在特定的波长及入射角时，反射出来的辐射会形成集中的波峰（叫布拉格尖峰）。布拉格衍射这个概念同样适用于中子衍射及电子衍射 。中子及X射线的波长都于原子间距离(~150 pm)相若，因此它们很适合在这种长度作“探针”之用。

X射线与一晶体内原子的相互作用。

威廉·劳伦斯·布拉格使用了一个模型来解释这个结果，模型中晶体为一组各自分离的平行平面，相邻平面间的距离皆为一常数d。他的解释是，如果各平面反射出来的X射线成相长干涉的话，那么入射的X射线经晶体反射后会产生布拉格尖峰。当相位差为2π及其倍数时，干涉为相长的；这个条件可经由布拉格定律表示：

$n\lambda =2d\sin \theta \!$

其中n为整数，λ为入射波的波长，d为原子晶格内的平面间距，而θ则为入射波与散射平面间的夹角。注意移动中的粒子，包括电子、质子和中子，都有对应其速度及质量的德布罗意波长。

根据 ${\begin{smallmatrix}2\theta \end{smallmatrix}}$ 推导，相位差会导致相长（图左）或相消（图右）干涉。

布拉格定律由物理学家威廉·劳伦斯·布拉格爵士于1912年推导出来，并于1912年11月11日首度于剑桥哲学会中发表。尽管很简单，布拉格定律确立了粒子在原子大小下的存在，同时亦为晶体研究提供了有效的新工具──X射线及中子衍射。威廉·劳伦斯·布拉格及其父，威廉·亨利·布拉格爵士获授1915年诺贝尔物理学奖，原因为晶体结构测定的研究，他们测定了氯化钠、硫化锌及钻石的结构。 他们是唯一一队同时获奖的父子队伍，而威廉·劳伦斯·布拉格时年25岁，因此成了最年轻的诺贝尔奖得主。

布拉格条件

图为布拉格衍射。两束相同波长及相的辐射，向着固态晶体前进，最后被里面的两个原子所散射出去。下面的束被散射后，比上面的束多行了 ${\begin{smallmatrix}2d\sin \theta \end{smallmatrix}}$ 的距离。当这个距离等于辐射波长的倍数时，散射后的两束辐射就会产生相长干涉。

当电磁辐射或亚原子粒子波的波长，与进入的晶体样本的原子间距长度相若时，就会产生布拉格衍射，入射物会被系统中的原子以镜面形式散射出去，并会按照布拉格定律所示，进行相长干涉。对于晶质固体，波被晶格平面所散射，各相邻平面间的距离为d。当被各平面散射出去的波进行相长干涉时，它们的相位依然相同，因此每一波的路径长度皆为波长的整数倍。进行相长干涉两波的路径差为${\begin{smallmatrix}2d\sin \theta \end{smallmatrix}}$，其中${\begin{smallmatrix}\theta \end{smallmatrix}}$为散射角。由此可得布拉格定律，它所描述的是晶格中相邻晶体平面（由米勒指数h、k及l 标记），产生相长干涉的条件 ：

$2d\sin \theta =n\lambda \!$，

其中n为整数，按各项参数大小而定，而λ则为波长。通过量度散射后入射波的强度，并将之表示成入射角的函数，可得干涉图样。在干涉图样中，当散射波满足布拉格条件，就会产生非常强的强度，它们叫布拉格尖峰。

倒空间

尽管很多人都以为布拉格定律量度的是实空间中的原子距离，但事实并不是这样的。在布拉格实验中，只有在量度的距离与晶格图中的d成反比时，第一陈述才似乎会是正确的。而且，从布拉格定律的$n\lambda$项，可以看出定律量度两排原子间到底能放多少个波长，因此它所量度的是倒距离。倒晶格向量描述的是某组晶格平面，它是这组平面的法向量，其长度为$G=2\pi /d$。马克斯·冯·劳厄用向量形式正确地诠释了倒晶格向量，并得出以他命名的劳厄方程：

${\vec {G}}\ =\ {\vec {k_{f}}}\ -\ {\vec {k_{i}}}$

其中${\vec {G}}$为倒晶格向量，而${\vec {k_{f}}}$及${\vec {k_{i}}}$为入射及衍射束的波矢。

弹性散射条件$|k_{f}|=|k_{i}|$，及散射角$2\theta$与上式结合后，基本上与布拉格方程等效。这是因为动量转移守恒的缘故。在这个系统中，其扫掠变量可以是长度、入射方向或出射波矢，其中波矢与系统中的能量及角度弥散有关。衍射角与Q空间的关系可用一简单的式子表示：

$Q={\frac {4\pi \sin \left(\theta \right)}{\lambda }}$。

倒晶格是一晶格的傅里叶空间，在晶格上应用完整的波动力学时，这个概念是不可或缺的。

另一种推导

设一单色波（任何种类），进入一组对齐的平面晶格点，其平面间距为$d$，入射角为$\theta$，如右图所示。波被晶格点A反射后会沿AC'行进，而没有被反射的波则沿AB继续行进，被晶格点B反射后路径为BC。AC'与BC间存在路径差，表达式为

$(AB+BC)-(AC')$。

只有在路径差等于波长的整数倍时，这两股分开的波，在到达某一点时，会是同相位的，才会因此产生相长干涉，故相长干涉的产生条件为

$(AB+BC)-(AC')=n\lambda$， （需要为C'下定义）

其中$n$与$\lambda$的定义同上。

从上图可见，

$AB=BC={\frac {d}{\sin \theta }}\,$ 且 $AC={\frac {2d}{\tan \theta }}$，

由此可得，

$AC'=AC\cdot \cos \theta ={\frac {2d}{\tan \theta }}\cos \theta =\left({\frac {2d}{\sin \theta }}\cos \theta \right)\cos \theta ={\frac {2d}{\sin \theta }}\cos ^{2}\theta$。

组合上述各式，得

$n\lambda ={\frac {2d}{\sin \theta }}(1-\cos ^{2}\theta )={\frac {2d}{\sin \theta }}\sin ^{2}\theta$，

简化后可得：

$n\lambda =2d\sin \theta$，

即布拉格定律。

胶体晶体的布拉格可见光散射

胶体晶体为一种非常有序的粒子阵列，可以在大范围内形成（长度从几微米到几毫米不等），而且可被看作原子及分子晶体的类比。球状粒子的周期性阵列，会形成出相似的空隙阵列，而这种阵列可被用作可见光的衍射光栅，尤其是当空隙与入射波长为同一数量级的时候。

因此，科学家们在很多年前就发现了，由于相斥库仑相互作用的关系，水溶液中的带电荷高分子，会表现出大范围的类晶体相互关联，当中粒子间距一般会比粒子直径要大得多。在自然的所有这种例子中，都可到看到一样的漂亮构造色（或晃动的色彩），这都可以归功于可见光波的相长干涉，而此时光波会满足布拉格条件，跟结晶固体的X射线衍射类似。

选择定则与实验晶体学

就跟上文提过的那样，布拉格定律可用于计算某立方晶系的晶格间距，关系式如下：

$d={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+l^{2}}}}$

其中$a$为立方晶体的晶格间距，而$h$、$k$及$l$则为布拉格平面的密勒指数，将上式与布拉格定律结合可得：

$\left({\frac {\lambda \ }{2a}}\right)^{2}={\frac {\sin ^{2}\theta \ }{h^{2}+k^{2}+l^{2}}}$。

我们可以推导出各种不同立方布拉维晶格的密勒指数选择定则；以下是其种几种晶格的选择定则。

密勒指数的选择定则

布拉维晶格	化合物例子	可行反射	不可行反射
简单立方	钋、氯化钾	任何h、k、l	无
体心立方	铁、钨、钽、铬	h + k + l 为偶数	h + k + l 为奇数
面心立方	铜、铝、镍、氯化钠、氢化锂、硫化铅	h、k、l皆为奇数或偶数	h、k、l当中有奇数也有偶数
金刚石型	硒化锌、氯化铜、碘化银、氟化铜、硅、锗	皆为奇数，或皆为偶数且h+k+l = 4n	同上，或皆为偶数但h+k+l ≠ 4n
三角点阵	钛、锆、镉、铍	l为偶数或h + 2k ≠ 3n	l为奇数且h + 2k = 3n

这些选择定则可用于对应晶体结构下的任何晶体。尽管氯化钠呈现面心立方的结构，但是由于氯离子跟钠离子的大小相近，因此衍射图样实质上跟简单立方结构一致，只是各项晶体参数都小了一半。其他结构的选择定则可在各种相关的参考文献中找到，也可以自行推导出来。

另见

• 晶格
• 衍射
• 分散式布拉格反射器
• 光纤布拉格光栅
• 亨德森极限
• 衍射的动力学理论
• 劳厄方程
• 粉末衍射
• 结构因子
• 威廉·劳伦斯·布拉格
• X射线晶体学

延伸阅读

• Neil W. Ashcroft and N. David Mermin, Solid State Physics (Harcourt: Orlando, 1976).
• Bragg, W.L. The Diffraction of Short Electromagnetic Waves by a Crystal. Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. 1913, 17: 43–57. 

外部链接

• 1915年诺贝尔物理学奖 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.citycollegiate.com/interference_braggs.htm （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• https://web.archive.org/web/20100421231804/http://srs.dl.ac.uk/station/9.4/diffraction-selection-rules.htm
• http://www.physics.uoguelph.ca/~detong/phys3510_4500/xray.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）