拉马努金求和 （英语：Ramanujan summation ）是由数学家斯里尼瓦瑟·拉马努金 所发明的数学技巧，指派一特定值予无限发散级数 。尽管拉马努金求和不是传统的和 的概念，其在探讨发散级数上极有用处；因为在此情形下，传统的求和方式是无法定义的。拉马努金求和的成果可用在复分析 、量子力学 及弦理论 等领域。
拉马努金求和法本质上是部分和 的性质，而非整个数列 的级数和 性质，后者在此情形通常是无法定义的。若我们同时采用欧拉-麦克劳林求和公式 以及伯努利数 的修正规则，可得：
1
2
f
(
0
)
+
f
(
1
)
+
⋯
+
f
(
n
−
1
)
+
1
2
f
(
n
)
=
1
2
[
f
(
0
)
+
f
(
n
)
]
+
∑
k
=
1
n
−
1
f
(
k
)
=
∫
0
n
f
(
x
)
d
x
+
∑
k
=
1
p
B
k
+
1
(
k
+
1
)
!
[
f
(
k
)
(
n
)
−
f
(
k
)
(
0
)
]
+
R
p
{\displaystyle {\begin{aligned}{}&{\frac {1}{2}}f\left(0\right)+f\left(1\right)+\cdots +f\left(n-1\right)+{\frac {1}{2}}f\left(n\right)\\=&{\frac {1}{2}}\left[f\left(0\right)+f\left(n\right)\right]+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)\\=&\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left[f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right]+R_{p}\end{aligned}}}
拉马努金写道：[1] p 趋近于无限大，
∑
k
=
1
x
f
(
k
)
=
C
+
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
+
1
2
f
(
x
)
+
∑
k
=
1
∞
B
2
k
(
2
k
)
!
f
(
2
k
−
1
)
(
x
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{x}f(k)=C+\int _{0}^{x}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(x)+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(x)}
其中C 是此级数的特定常数，然而拉马努金并未指定其解析延拓 以及积分的上下限。将两式作比较，并假设R 趋近于0，而x 趋近于无限大；当一函数 f (x ) 在x = 0不发散：
C
(
a
)
=
∫
0
a
f
(
t
)
d
t
−
1
2
f
(
0
)
−
∑
k
=
1
∞
B
2
k
(
2
k
)
!
f
(
2
k
−
1
)
(
0
)
{\displaystyle C(a)=\int _{0}^{a}f(t)\,dt-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0)}
其中拉马努金假设
a
=
0
{\displaystyle \scriptstyle a\,=\,0}
a
=
∞
{\displaystyle \scriptstyle a\,=\,\infty }
f (x ) 在x = 1不发散，可得：
C
(
a
)
=
∫
1
a
f
(
t
)
d
t
+
1
2
f
(
1
)
−
∑
k
=
1
∞
B
2
k
(
2
k
)
!
f
(
2
k
−
1
)
(
1
)
{\displaystyle C(a)=\int _{1}^{a}f(t)\,dt+{\frac {1}{2}}f(1)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(1)}
C (0)因此被提议用作发散数列的和。在此建立了求和与积分之间的桥梁。
发散级数的和
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下文中，
(
ℜ
)
{\displaystyle \scriptstyle (\Re )}
举例来说，1 - 1 + 1 - 1 + ⋯
(
ℜ
)
{\displaystyle \scriptstyle (\Re )}
1
−
1
+
1
−
1
+
⋯
=
1
2
(
ℜ
)
{\displaystyle 1-1+1-1+\cdots ={\frac {1}{2}}\ (\Re )}
拉马努金计算了一些知名发散级数的“和”。注意到拉马努金和并非一般级数和的概念[2] [3] 部分和 不会收敛到
(
ℜ
)
{\displaystyle \scriptstyle (\Re )}
又如1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
(
ℜ
)
{\displaystyle \scriptstyle (\Re )}
1
+
2
+
3
+
4
+
⋯
=
−
1
12
(
ℜ
)
{\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}}\ (\Re )}
延伸至正偶数幂，可得：
1
+
2
2
k
+
3
2
k
+
⋯
=
0
(
ℜ
)
{\displaystyle 1+2^{2k}+3^{2k}+\cdots =0\ (\Re )}
而奇数幂的结果则与伯努利数 有关：
1
+
2
2
k
−
1
+
3
2
k
−
1
+
⋯
=
−
B
2
k
2
k
(
ℜ
)
{\displaystyle 1+2^{2k-1}+3^{2k-1}+\cdots =-{\frac {B_{2k}}{2k}}\ (\Re )}
目前有提议采用C (1)取代C (0)作为拉马努金求和的结果，以其可保证一个级数
∑
k
=
1
∞
f
(
k
)
{\displaystyle \scriptstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)}
[4]
如此拉马努金求和的定义（标作
∑
n
≥
1
ℜ
f
(
n
)
{\displaystyle \scriptstyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)}
C (0)不相同，也与收敛级数求和的结果不相同；但其带有有趣的性质：若R (x )趋近于一个有限值极限，当x → +1，则此级数
∑
n
≥
1
ℜ
f
(
n
)
{\displaystyle \scriptstyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)}
∑
n
≥
1
ℜ
f
(
n
)
=
lim
N
→
∞
[
∑
n
=
1
N
f
(
n
)
−
∫
1
N
f
(
t
)
d
t
]
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)=\lim _{N\to \infty }\left[\sum _{n=1}^{N}f(n)-\int _{1}^{N}f(t)\,dt\right]}
特别是如下例子：
∑
n
≥
1
ℜ
1
n
=
γ
{\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }{\frac {1}{n}}=\gamma }
其中γ 是欧拉-马斯刻若尼常数 。
拉马努金求和可以延伸至积分：举例来说，运用欧拉-麦克劳林求和公式 可写出
∫
a
∞
x
m
−
s
d
x
=
m
−
s
2
∫
a
∞
x
m
−
1
−
s
d
x
+
ζ
(
s
−
m
)
−
∑
i
=
1
a
i
m
−
s
+
a
m
−
s
−
∑
r
=
1
∞
B
2
r
Γ
(
m
−
s
+
1
)
(
2
r
)
!
Γ
(
m
−
2
r
+
2
−
s
)
(
m
−
2
r
+
1
−
s
)
∫
a
∞
x
m
−
2
r
−
s
d
x
{\displaystyle {\begin{array}{l}\int \nolimits _{a}^{\infty }x^{m-s}dx={\frac {m-s}{2}}\int \nolimits _{a}^{\infty }x^{m-1-s}dx+\zeta (s-m)-\sum \limits _{i=1}^{a}i^{m-s}+a^{m-s}\\-\sum \limits _{r=1}^{\infty }{\frac {B_{2r}\Gamma (m-s+1)}{(2r)!\Gamma (m-2r+2-s)}}(m-2r+1-s)\int \nolimits _{a}^{\infty }x^{m-2r-s}dx\end{array}}}
此为ζ函数正规化演算积分的自然延伸。
迭代方程式为有限的，因为当
m
−
2
r
<
−
1
{\displaystyle m-2r<-1}
∫
a
∞
d
x
x
m
−
2
r
=
−
a
m
−
2
r
+
1
m
−
2
r
+
1
{\displaystyle \qquad \int _{a}^{\infty }dxx^{m-2r}=-{\frac {a^{m-2r+1}}{m-2r+1}}}
其中
I
(
n
,
Λ
)
=
∫
0
Λ
d
x
x
n
{\displaystyle I(n,\,\Lambda )\,=\,\int _{0}^{\Lambda }dxx^{n}}
黎曼ζ函数正规化 要是
Λ
→
∞
{\displaystyle \Lambda \rightarrow \infty }
量子场论 的重整化 方法，得到有限值的结果。
相关条目
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参考文献
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^ Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks 互联网档案馆 的存档 ，存档日期2006-10-12., Ramanujan's Theory of Divergent Series , Chapter 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133-149.
^ The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation . [20 January 2014] . （原始内容存档 于2017-06-06）. ^ Infinite series are weird . [20 January 2014] . （原始内容存档 于2020-11-08）. ^ Éric Delabaere, Ramanujan's Summation （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）, Algorithms Seminar 2001–2002 , F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}&{\frac {1}{2}}f\left(0\right)+f\left(1\right)+\cdots +f\left(n-1\right)+{\frac {1}{2}}f\left(n\right)\\=&{\frac {1}{2}}\left[f\left(0\right)+f\left(n\right)\right]+\sum _{k=1}^{n-1}f\left(k\right)\\=&\int _{0}^{n}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{p}{\frac {B_{k+1}}{(k+1)!}}\left[f^{(k)}(n)-f^{(k)}(0)\right]+R_{p}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/829db6259d5defea1c87bfc8f76689be8a104307)
![{\displaystyle \sum _{n\geq 1}^{\Re }f(n)=\lim _{N\to \infty }\left[\sum _{n=1}^{N}f(n)-\int _{1}^{N}f(t)\,dt\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6b3b23c1fc27caac62df46892583848a345b040)
