考拉兹猜想

考拉兹猜想（英语：Collatz conjecture），又称为奇偶归一猜想、3n+1猜想、冰雹猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。

$f(n)={\begin{cases}n/2&{\mbox{if }}n\equiv 0\\3n+1&{\mbox{if }}n\equiv 1\end{cases}}{\pmod {2}}.$

例子

取一个正整数：

• 如n = 6，根据上述数式，得出序列6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。(步骤中最高的数是16，共有8个步骤)
• 如n = 11，根据上述数式，得出序列11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1。(步骤中最高的数是52，共有14个步骤)
• 如n = 27，根据上述数式，得出序列

{ 27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1 }（步骤中最高的数是9232，共有111个步骤）

奇偶归一猜想称，任何正整数，经过上述计算步骤后，最终都会得到1。

n = 27时的序列分布（横轴－步数；纵轴－运算结果）

数目少于1万的，步骤中最高的数是6171，共有261个步骤； 数目少于10万的，步骤中最高的数是77031，共有350个步骤； 数目少于100万的，步骤中最高的数是837799，共有524个步骤； 数目少于1亿的，步骤中最高的数是63728127，共有949个步骤； 数目少于10亿的，步骤中最高的数是670617279，共有986个步骤。

研究历史

在1930年代，德国汉堡大学的学生考拉兹，曾经研究过这个猜想。在1960年，日本人角谷静夫也研究过这个猜想。但这猜想到目前，仍没有任何进展。

保罗·艾狄胥就曾称，数学上尚未为此类问题提供答案。他并称会替找出答案的人奖赏500元。

目前已经有分布式计算在进行验证。到2009年1月18日，已验证正整数到 5 × 2⁶⁰ = 5,764,607,523,034,234,880，也仍未有找到例外的情况。但是这并不能够证明对于任何大小的数，这猜想都能成立。

有的数学家认为，该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域。目前也有部分数学家和数学爱好者，在进行关于“负数的3x＋1”、“5x＋1”、“7x＋1”等种种考拉兹猜想的变化形命题的研究。

2019年12月，陶哲轩证明只要$f(n)$是一个趋于正无穷的实数列，那么几乎对所有的正整数$n$ (在对数密度意义下) ，有$S(n)<f(n)$。

计算机验证

Python

以下是这个猜想的Python版本代码。它会在答案得到1时停下来，以避免作0→0这个无限循环。

def collatz(number):
    while number != 1:
        if number % 2 == 0:
            number = number // 2
        elif number % 2 == 1:
            number = number*3 + 1
        print(number)

collatz(int(input('輸入一個正整數')))

C语言

#include <stdio.h>

void collatz(unsigned int n){
  while(n > 1){
    printf("%u\t->\t", n);
    n = n & 1 ? n * 3 + 1 : n / 2;
  }
  printf("1");
}

Java

void collatz(int n){
  while(n > 1){
    System.out.print(n + "\t->\t");
    n = n % 2 == 0 ? n / 2 : n * 3 + 1;
  }
  System.out.print(1);
}

Visual Basic

Imports System
Imports System.Console

Public Sub Collatz(ByVal n As UInteger)
    System.Console.WriteLine(n)
    If n = 1 Then Exit Sub
    n = n * 3 + 1
    Do While(n Mod 2 = 0)       // remove all trailing '0's
      n /= 2
    Loop
    Call Collatz(n)
End Sub

JavaScript

function collatz(n) {
  while(n > 1)
    n = !(n % 2) ? n / 2 : n * 3 + 1;
}

golang

func collatz(num int) {
    for num != 1 {
        if (num % 2) == 1 {
            num = num*3 + 1
        } else {
            num = num / 2
        }
        println(num)
    }
}

shell

read -p "输入一个正整数：" num
function collatz()
{
    local n=$1
    while [ $n -ne 1 ]
    do
        [[ $(($n%2)) == 0 ]] && let n/=2 || let n=n*3+1 ; echo $n
    done
}
collatz $num

相关条目

• 3x + 1半群
• 模算数

外部链接

• 以电脑研究考拉兹猜想的网页 页面存档备份，存于互联网档案馆
• Collatz Conjecture的BOINC专案网页 页面存档备份，存于互联网档案馆