数学中,交换环上的代数多元环是一种代数结构,上下文不致混淆时通常迳称代数

本页面中的环都是指有单位的环,并使用么环一词表示则是不一定有单位的环。

定义 编辑

给定一个交换环  

代数 编辑

给定一个四元组   。如果以下两个条件成立:

  1.   是一个  -
  2.  是一个   的内部运算(即 ),并且是 -双线性的。也就是说内部运算 符合以下三点:
    •  
    •  
    •  

那么我们说四元组   是一个   上的代数(或称  -代数),或简称集合   是一个 -代数

结合代数、有单位的代数、交换代数 编辑

  为一个  -代数

  • 如果内部运算 符合结合律,那么我们说   是一个结合代数
  • 如果内部运算 有一个单位元(即  ),那么此单位元是唯一的并且我们说   是一个有单位的代数
  • 如果内部运算 符合交换律,那么我们说   是一个交换代数

:有些作者用结合代数来称呼结合且有单位的代数,或是用交换代数来称呼结合、有单位且交换的代数。本页面使用上述段落给的定义而不采用这些称呼。

等价定义 编辑

一样给定一个交换环  

给定一个四元组   。 这是一个 上的结合代数 结合且有单位的代数 结合、有单位且交换的代数)当且仅当以下三个条件成立:

  1.   是一个  -
  2.   是一个环( 一个幺环、 一个交换环)。
  3.  是一个   的内部运算(即 ),并且是 -双线性的。

注:上述条件中的第三个条件在第一及第二条件成立下等价为:

  •  是一个   的内部运算(即 ),并符合 

上述只是将最初定义重整理一次。然而我们可以用别种结构来理解结合且有单位的代数:

  • 给定一个结合且有单位 -代数   就等于给定一个二元组  :其中   是一个环,而   是一个满足  的环同态。(  代表环   的中心,也就是  )。

原因是如果   是一个结合且有单位的 -代数,那么   是一个环并且   是一个环同态,满足 。反过来看,如果   是一个环,而   是一个满足   的环同态,那么我们可以定义外部运算 (即 )。  上环的结构与此外部运算结构使其成为一个  -模并且成为一个结合且有单位的  -代数。

将上述性质套用在交换环上,我们便可得到结合、有单位且交换的代数的另一种看法:

  • 给定一个结合、有单位且交换 -代数   就等于给定一个二元组  :其中   是一个交换环,而   是一个的环同态。

代数同态 编辑

  -代数, -模间的同态   被称作  -代数间的同态,若且唯若它满足  。因此所有  -代数构成一个范畴,也可以探讨代数间的同构。详阅主条目代数同态

结构常数 编辑

  -代数。当   是个自由的有限秩  -模(当   为域且  时自动成立)时,可选定一组基底  ,并将乘法写作

  (采用爱因斯坦记号

此时常数   称作   对基底  结构常数

例子 编辑

  • 对于 矩阵  附上矩阵乘法是一个非交换但结合且有单位的 -代数。
  • 对二阶以上的矩阵环,假设域的特征不等于 2。定义新的乘法为  ,此时得到一个交换、非结合、无单位的代数。这是一个约当代数的例子。
  • 欧氏空间   对其外积构成一个非交换、非结合且无单位的  -代数。这是一个李代数的例子。
  • 四元数   是一个非交换但结合且有单位的  -代数。
  • 八元数   是一个非交换、非结合但有单位的  -代数。
  • 考虑所有在正无穷有极限且极限为0的函数 所形成的集合,附上一般的运算会是一个结合且交换但无单位的 -代数。

除了交换结合代数外,一般常研究的几类代数包括李代数克里福代数约当代数等等。近来一些物理学家运用的几何代数也是一例。

代数上也可以赋予拓扑结构,并要求代数运算是连续的;最突出的例子是巴拿赫代数,这是现代泛函分析的基石之一。

参见 编辑

文献 编辑