区间套

在数学中，一串区间套是实数中的一串区间I_n（n=1, 2, 3, ...），使得对于每个n都有I_{n + 1} 是I_n的子集，有时我们要求它是真子集。换而言之，在这串区间中，区间从左边逐渐往右收缩，而在右边逐渐往左收缩。

一串区间套中的4个成员之示例

关于区间套的主要问题在于探讨所有区间I_n的交集（记作J）的性状。

事实上，当I_n都是开集时，J有可能为空集。例如开区间套(0, 2⁻ⁿ)的交集就是空集：任何一个正数x都在n充分大之后大于2⁻ⁿ，故而x不在J中。

但对于闭集而言，情况有所不同。事实上，我们有闭区间套定理，这一定理刻划了实数的完备性。定理声称对于任一的有界闭区间套I_n（例如I_n = [a_n, b_n]并满足a_n ≤ b_n），它们的交集I_n非空，且为闭区间$[\lim _{n\to \infty }a_{n},\lim _{n\to \infty }b_{n}]$；特别地，假若$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}-b_{n}=0$，则它们的交集J为一个包含且仅包含$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}$的单点集。

参考文献

• Fridy, J. A., 3.3 The Nested Intervals Theorem, Introductory Analysis: The Theory of Calculus, Academic Press: 29, 2000 [2020-02-24], ISBN 9780122676550, （原始内容存档于2019-07-11） .
• Shilov, Georgi E., 1.8 The Principle of Nested Intervals, Elementary Real and Complex Analysis, Dover Books on Mathematics, Courier Dover Publications: 21–22, 2012 [2020-02-24], ISBN 9780486135007, （原始内容存档于2019-07-11） .
• Sohrab, Houshang H., Theorem 2.1.5 (Nested Intervals Theorem), Basic Real Analysis, Springer: 45, 2003 [2020-02-24], ISBN 9780817642112, （原始内容存档于2019-07-11） .