反德西特空间

数学与物理学中，一个n维反德西特空间（英语：Anti-de Sitter space），标作AdS_n为一最大对称的劳仑兹流形，具有负常数的纯量曲率。其为双曲空间的劳仑兹类比，一如闵考斯基空间与德西特空间分别为欧几里得空间与椭圆空间的类比。

嵌于平直(1 + 2)维空间中的(1 + 1)维反德西特空间。

反德西特空间最知名的应用是在AdS/CFT对偶。“德西特”是以威廉·德西特（1872–1934）为名，他与阿尔伯特·爱因斯坦于1920年代一同研究宇宙中的时空结构。

以广义相对论的语言来说，反德西特空间为爱因斯坦场方程式的最大对称真空解，其带有负的（吸引性）的宇宙常数$\Lambda$，对应到负的真空能量密度与正压力。

数学中，反德西特空间有时更广义地定义为一个具有任意度规标记(p, q)的空间。物理学的情形中，一维类时维度才有意义。由于标记习惯的不同，可写作(n−1, 1)或(1, n−1)。

非技术性的阐释

相关技术名词解释

托里拆利小号

• 最大对称劳仑兹流形：类似于广义相对论的时空，其中时间与空间在各方向都是数学上等价。
• 常数纯量曲率：类似于广义相对论中重力造成时空弯曲，而在此情形下无物质或能量，曲率在时空中各处皆为单一数值。
• 负曲率：类似双曲空间的弯曲方式，形似托里拆利小号或马鞍面；与球面的正曲率情形相反。负曲率对应到吸引力，而正曲率对应到排斥力。
• 量子场论：描述基本作用力（比如电磁力、弱作用力、强作用力）的量子理论。
• AdS/CFT对偶：由胡安·马尔达西那于1997年提出，阐述了四维时空中以量子场论描述的作用力可用弦论来描述，而弦处在多一维度的反德西特空间中。此对偶关系的重要性在于其陈述了量子场论可以用几何方式表示，有别于以往的陈述方式。
• 共形场论：具有纯量不变性的量子场论。

广义相对论的时空

广义相对论是描述时间、空间与重力之间关系的理论，其中重力是时空因物质或能量存在而弯曲的表现。质量与能量是等价，两者关系式为

　$E=mc^{2}$，

其中c为真空中光速。而时间与空间也是等价的，透过c可使两者单位一致。

广义相对论的效果常用一个类比方式来说明：一张弹性垫因为上面的重物而凹陷，经过重物附近的小球的行进路径因此受到影响，发生了路径的偏折。这样的效果在牛顿力学中视为一种“吸引力”。而“吸引力”是物体造成时空负曲率的表现；在弹性垫的例子，负曲率即类似于托里拆利小号形状的凹陷。广义相对论的特色也在于其将重力描述时空的弯曲，而非传统对力的描述（例如：电磁力）。

弹性垫的例子描述了二维空间因重力发生弯曲，背景为一个三维超空间，而第三维度对应到重力的影响。现实生活中则可类比地想作四维时空因重力发生弯曲，背景为五维超空间，而第五维度对应到重力与相关效应的影响。

较为大众所熟悉的牛顿万有引力定律

$\textstyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\$

所描述的两物体因具有质量而彼此吸引，仅是广义相对论中重力效应的近似，在极端情形下则会失去预测精准度。两者其中之一差异在于广义相对论中，时空一同弯曲，而非仅只空间弯曲。平常情形下，时间的弯曲程度太小，以至于仪器无法区分牛顿重力理论与广义相对论的差别。

德西特空间与广义相对论时空的差别

正常的德西特空间与广义相对论时空最基础的差义在于：即使没有物质或能量存在，德西特空间仍有一些些的弯曲。如此内生性的时空曲率可与宇宙常数以及暗能量的概念相连结。

类似于之前的例子，关于德西特空间一个常用的类比为：弹性垫置于一球面上而发生些微的弯曲，因为球面极大而此曲率很小。空的德西特空间带有些微排斥力，物质间的万有引力与此排斥力相抵抗。正常德西特空间对应到正的宇宙常数，与目前天文学观测相符，而宇宙常数的值与德西特空间的曲率等价。从另个角度来看，德西特空间的“自身能量”造成了宇宙加速膨胀。

正、反德西特空间的差别

反德西特空间与正常的德西特空间相异，在不存在物质或能量的情形下，时空曲率是呈现双曲形式的。

运用上面的类比例子：想像一块弹性垫置放于鞍面上而产生弯曲，因为这个鞍面极大所以弯曲程度极小。如此对应到负值宇宙常数，目前在现实生活中尚未观测到此现象。反德西特空间的效果是宇宙会加速塌缩。

一如正常德西特空间，反德西特空间的曲率与宇宙常数等价，尽管数值上两者分别为一正一负。

拓展阅读

• New Math Proves That a Special Kind of Space-Time Is Unstable（页面存档备份，存于互联网档案馆）. Quantamagazine