拿破仑问题

拿破仑问题（Napoleon's problem）是著名的圆规作图问题，原题如下：

给定一圆和其圆心，只用圆规将此圆四等分。（此圆指的是圆周而不是圆面积）

此题目是由义大利数学家洛伦佐·马斯凯罗尼向拿破仑·波拿巴提出的问题，但我们不知道他是否有解出这个问题。此题目后来又更加进化，变成只给定一圆，只用圆规将此圆四等分，在这种情况必须先用圆规作图找到圆心。以上两种都被称为拿破仑问题。

1672年，乔治·莫尔证明只要使用圆规就可以解决所有的尺规作图，但此证明直到1928年才被发现。

找出圆心

$C$→深蓝、$C_{1}$→红、$C_{2}$→绿、$C_{3}$→紫、$C_{4}$→蓝

作法

1. 在已知的圆$C$上找任意一点 A，以任意半径画弧 ${\color {Red}C_{1}}$（必须和圆$C$有交点，长度最好差不多有半圆那么长，方便第三步作图），交圆$C$于 B'、B 两点。
2. 分别以B'、B为圆心， ${\overline {B'A}}$ 、${\overline {BA}}$ 为半径，画两条弧 ${\color {Green}C_{2}}$，两弧线相交于 A 点和 C 点。
3. 再以 C 点为圆心、 ${\overline {CA}}$为半径，画弧 ${\color {RawSienna}C_{3}}$ ，交弧${\color {Red}C_{1}}$于 D'、D两点。
4. 以D'、D为圆心， ${\overline {D'A}}$ 、${\overline {DA}}$ 为半径，画两条弧 ${\color {blue}C_{4}}$ ，两弧线相交于A点和O点。（O点即圆$C$的圆心）

证明

设圆$C_{1}$的半径为$a$，圆$C_{3}$的半径为$b$，我们知道：

$a={\overline {AB}}={\overline {BC}}={\overline {AD}}={\overline {OD}}$

$b={\overline {AC}}={\overline {DC}}$

因为$\triangle ADC\thicksim \triangle AOD$，所以${\overline {AO}}={\frac {a^{2}}{b}}$

由于${\overline {AO}}:{\overline {AB}}=a:b={\overline {AB}}:{\overline {AC}}$，可以得出$\triangle ABC\thicksim \triangle AOB$

根据对称性，${\overline {AO}}$通过圆心，又${\overline {AO}}={\overline {OB}}$，所以$O$是圆$C$的圆心。

四等分圆

作法

由前面我们已经知道圆心的位置

1. 在已知的圆上找任意一点 $X$，以${\overline {XO}}$为半径画弧 ${\color {Red}C_{1}}$，交圆于 $V$、$Y$ 两点。
2. 以 $Y$ 为圆心，${\overline {YO}}$为半径画弧 ${\color {Red}C_{2}}$，交圆于 $Z$ 点（和 $X$ 点）。
3. （继续分别以 $Z$、$V$ 为圆心，${\overline {ZO}}$、${\overline {VO}}$ 为半径画弧，即可将圆六等分，）$V$、$X$、$Y$、$Z$ 为四个六等分点（如图）。
4. 以 $V$ 为圆心，${\overline {VY}}$为半径画弧 ${\color {blue}C_{3}}$；以 $Z$ 为圆心，${\overline {ZX}}$为半径画弧 ${\color {blue}C_{4}}$，两弧交于 $T$ 点。
5. 以 $Z$ 为圆心，取${\overline {OT}}$的长度 ${\color {Green}D}$ 为半径画弧 ${\color {Green}C_{5}}$，交圆于 $U$、$W$ 两点。
6. $V$、$W$、$Z$、$U$ 四点将圆四等分。

证明

设圆的半径为$a$，容易得出${\overline {OV}}$、${\overline {OX}}$、${\overline {OY}}$、${\overline {OZ}}$、${\overline {VX}}$、${\overline {XY}}$、${\overline {YZ}}$的长度都是$a$，可以得出${\overline {VY}}={\overline {VT}}={\sqrt {3}}a$，根据毕氏定理可以得出${\overline {OT}}={\sqrt {{\overline {VT}}^{2}-{\overline {VO}}^{2}}}={\sqrt {2}}a$，因此$V$、$W$、$Z$、$U$四点将圆四等分。

参见

• 拿破仑定理
• 尺规作图
• 圆规作图

参考资料

• Napoleon's Problem （页面存档备份，存于互联网档案馆）MathWorld
• 拿破仑分圆