有限深方形阱

在量子力学里，有限深方形阱，又称为有限深位势阱，是无限深方形阱的延伸。有限深方形阱是一个阱内位势为0，阱外位势为有限值的位势阱。关于一个或多个粒子，在这种位势作用中的量子行为的问题，称为有限深位势阱问题。与无限深方形阱问题不同的是，在阱外找到粒子的机率大于0。

有限深方形阱。阱宽为$L\,\!$。阱内位势为0。在阱壁，位势突然升高为$V_{0}\,\!$。阱外位势保持为$V_{0}\,\!$。

在经典力学里，假若，粒子的能量小于阱壁的位势，则粒子只能移动于阱内，无法存在于阱外。截然不同地，在量子力学里，虽然粒子的能量小于阱壁的位势，在阱外找到粒子的机率大于0。

一维阱定义

一维有限深方形阱的阱宽为$L\,\!$，左边阱壁与右边阱壁的位置分别为$x=-L/2\,\!$与$x=L/2\,\!$。阱内位势为0。在阱壁，位势突然升高为$V_{0}\,\!$。阱外位势保持为$V_{0}\,\!$。这一维阱将整个一维空间分为三个区域：阱左边，阱内，与阱右边。在每一个区域内，对应著不同的位势，描述粒子的量子行为的波函数$\psi \,\!$也不同，标记为：

$\psi =\psi _{1}\,\!$：阱左边，$x<-L/2\,\!$（阱外区域），

$\psi =\psi _{2}\,\!$：阱内，$-L/2<x<L/2\,\!$（阱内区域），

$\psi =\psi _{3}\,\!$：阱右边，$x>L/2\,\!$（阱外区域）。

这些波函数，都必须满足，一维不含时间的薛丁格方程式：

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)\psi =E\psi \,\!$；(1)

其中，$\hbar \,\!$是约化普朗克常数，$m\,\!$是粒子质量，$x\,\!$是粒子位置，$V(x)\,\!$是位势，$E\,\!$是能量。

阱内区域

在阱内，位势$V(x)=0\,\!$，方程简化为：

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=E\psi _{2}\,\!$。(2)

设定波数$k\,\!$为

$k={\frac {\sqrt {2mE}}{\hbar }}\,\!$。(3)

代入方程(2)：

${\frac {d^{2}\psi _{2}}{dx^{2}}}=-k^{2}\psi _{2}\,\!$。

这是一个经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数$\psi _{2}(x)\,\!$是正弦函数与馀弦函数的线性组合：

$\psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\quad \,\!$；

其中，$A\,\!$与$B\,\!$都是复值常数，由边界条件而决定。

阱外区域

在阱外，位势$V(x)=V_{0}>0\,\!$，薛丁格方程为：

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=(E-V_{0})\psi _{1}\,\!$。

视能量是否大于位势而定，有两种不同的解答。一种是自由粒子解答，另一种是束缚粒子解答。

束缚态

假若，粒子的能量小于位势：$E<V_{0}\,\!$，则这粒子束缚于位势阱内．称这粒子的量子态为束缚态（bound state）。设定

$\alpha ={\frac {\sqrt {2m(V_{0}-E)}}{\hbar }}\,\!$。(4)

代入方程(1)：

${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=\alpha ^{2}\psi _{1}\,\!$。

一般解是指数函数。所以，阱左边区域与阱右边区域的波函数分别是

$\psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!$，

$\psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!$；

其中，$F\,\!$，$G\,\!$，$H\,\!$，$I\,\!$都是常数。

从正确的边界条件，可以找到常数$A\,\!$，$B\,\!$，$F\,\!$，$G\,\!$，$H\,\!$，$I\,\!$的值。

束缚态的波函数

薛丁格方程的解答必须具有连续性与连续可微性。这些要求是前面导引出的微分方程的边界条件。

总结前面导引出的结果，波函数$\psi \,\!$的形式为：

$\psi _{1}=Fe^{-\alpha x}+Ge^{\alpha x}\,\!$：阱左边，$x<-L/2\,\!$（阱外区域），

$\psi _{2}=A\sin(kx)+B\cos(kx)\,\!$：阱内，$-L/2<x<L/2\,\!$（阱内区域），

$\psi _{3}=He^{-\alpha x}+Ie^{\alpha x}\,\!$：阱右边，$x>L/2\,\!$（阱外区域）。

当$x\,\!$趋向负无穷，包含$F\,\!$的项目趋向无穷。类似地，当$x\,\!$趋向无穷，包含$I\,\!$的项目趋向无穷。可是，波函数在任何$x\,\!$都必须是有限值。因此，必须设定$F=I=0\,\!$。阱外区域的波函数变为

$\psi _{1}(x)=Ge^{\alpha x}\,\!$，

$\psi _{3}(x)=He^{-\alpha x}\,\!$。

在阱左边，随著$x\,\!$越小，波函数$\psi _{1}(x)\,\!$呈指数递减。而在阱右边，随著$x\,\!$越大，波函数$\psi _{3}(x)\,\!$呈指数递减。这是合理的。这样，波函数才能够归一化。

由于有限深方形阱对称于$x=0\,\!$，可以利用这对称性来省略计算步骤。波函数不是奇函数就是偶函数。

奇的波函数

假若，波函数$\psi \,\!$是奇函数，则

$\psi _{2}=A\sin(kx)\,\!$，

$G=-H\,\!$，

$\psi _{1}(-x)=-\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!$，

由于整个波函数$\psi \,\!$必须满足连续性与连续可微性。在阱壁，两个波函数的函数值与导数值都必须相配：

$\psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!$

$\left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!$

将波函数的公式代入：

$Ge^{-\alpha L/2}=-A\sin(kL/2)\,\!$，(5)

$\alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\cos(kL/2)\,\!$。(6)

方程(6)除以方程(5)，可以得到：

$\alpha =-k\cot(kL/2)\,\!$。

从方程(3)与(4)，可以求得常数$\alpha \,\!$与波数$k\,\!$的关系：

$\alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!$。

所以，波数是离散的，必须遵守以下方程：

$k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\sin ^{2}(kL/2)\,\!$。

这也造成了离散的能量。

偶的波函数

假若，波函数$\psi \,\!$是偶函数，则

$\psi _{2}=A\cos(kx)\,\!$，

$G=H\,\!$，

$\psi _{1}(-x)=\psi _{3}(x),\qquad \qquad x\geq 0\,\!$，

由于整个波函数$\psi \,\!$必须满足连续性与连续可微性。在阱壁，两个波函数的函数值与导数值都必须相配：

$\psi _{1}(-L/2)=\psi _{2}(-L/2)\,\!$

$\left.{\frac {d\psi _{1}}{dx}}\right|_{x=-L/2}=\left.{\frac {d\psi _{2}}{dx}}\right|_{x=-L/2}\,\!$

将波函数的公式代入：

$Ge^{-\alpha L/2}=A\cos(kL/2)\,\!$，(7)

$\alpha Ge^{-\alpha L/2}=kA\sin(kL/2)\,\!$。(8)

方程(8)除以方程(7)，可以得到：

$\alpha =k\tan(kL/2)\,\!$。

从方程(3)与(4)，可以求得常数$\alpha \,\!$与波数$k\,\!$的关系：

$\alpha ^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}-k^{2}\,\!$。

所以，波数是离散的，必须遵守以下方程：

$k^{2}={\frac {2mV_{0}}{\hbar ^{2}}}\cos ^{2}(kL/2)\,\!$。

这也造成了离散的能量。

散射态

假若，一个粒子的能量大于位势，$E>V_{0}\,\!$，则这粒子不会被束缚于位势阱内。因此，在这里，粒子的量子行为主要是由位势阱造成的散射（scattering）行为。称这粒子的量子态为散射态。称这不被束缚的粒子为自由粒子。更强版的定义还要求位势为常数。假若，一维空间分为几个区域，只有在每个区域内，位势为常数；而在区域与区域之间，位势不相等，则称此粒子为半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大于位势，$E>V_{0}\,\!$，不会被束缚于位势阱内，能量不是离散能量谱的特殊值，而是大于或等于$V_{0}\,\!$的任意值。波数$\kappa \,\!$，用方程式表达为$\kappa ={\frac {\sqrt {2m(E-V_{0})}}{\hbar }}\,\!$，也不是离散量。代入方程(1)：

${\frac {d^{2}\psi _{1}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi _{1}\,\!$，

${\frac {d^{2}\psi _{3}}{dx^{2}}}=-\kappa ^{2}\psi _{3}\,\!$。

解答形式与阱内区域的解答形式相同：

$\psi _{1}=C_{1}\sin(\kappa x)+D_{1}\cos(\kappa x)\,\!$，

$\psi _{3}=C_{3}\sin(\kappa x)+D_{3}\cos(\kappa x)\,\!$。

其中，$C_{1}\,\!$、$D_{1}\,\!$、$C_{3}\,\!$、$D_{3}\,\!$，都是常数。

参阅

• 自由粒子
• 无限深方形阱
• 有限位势垒
• 球对称位势
• Delta位势阱
• Delta位势垒
• 量子穿隧效应
• 盒中气体