一维有限深方形阱的阱宽为 ,左边阱壁与右边阱壁的位置分别为 与 。阱内位势为0。在阱壁,位势突然升高为 。阱外位势保持为 。这一维阱将整个一维空间分为三个区域:阱左边,阱内,与阱右边。在每一个区域内,对应著不同的位势,描述粒子的量子行为的波函数 也不同,标记为:[1]:78-82
- :阱左边, (阱外区域),
- :阱内, (阱内区域),
- :阱右边, (阱外区域)。
这些波函数,都必须满足,一维不含时间的薛丁格方程式:
- ;(1)
其中, 是约化普朗克常数, 是粒子质量, 是粒子位置, 是位势, 是能量。
在阱内,位势 ,方程简化为:
- 。(2)
设定波数 为
- 。(3)
代入方程(2):
- 。
这是一个经过颇多研究的二阶常微分方程。一般解本征函数 是正弦函数与馀弦函数的线性组合:
- ;
其中, 与 都是复值常数,由边界条件而决定。
在阱外,位势 ,薛丁格方程为:
- 。
视能量是否大于位势而定,有两种不同的解答。一种是自由粒子解答,另一种是束缚粒子解答。
假若,粒子的能量小于位势: ,则这粒子束缚于位势阱内.称这粒子的量子态为束缚态(bound state)。设定
- 。(4)
代入方程(1):
- 。
一般解是指数函数。所以,阱左边区域与阱右边区域的波函数分别是
- ,
- ;
其中, , , , 都是常数。
从正确的边界条件,可以找到常数 , , , , , 的值。
薛丁格方程的解答必须具有连续性与连续可微性。这些要求是前面导引出的微分方程的边界条件。
总结前面导引出的结果,波函数 的形式为:
- :阱左边, (阱外区域),
- :阱内, (阱内区域),
- :阱右边, (阱外区域)。
当 趋向负无穷,包含 的项目趋向无穷。类似地,当 趋向无穷,包含 的项目趋向无穷。可是,波函数在任何 都必须是有限值。因此,必须设定 。阱外区域的波函数变为
- ,
- 。
在阱左边,随著 越小,波函数 呈指数递减。而在阱右边,随著 越大,波函数 呈指数递减。这是合理的。这样,波函数才能够归一化。
由于有限深方形阱对称于 ,可以利用这对称性来省略计算步骤。波函数不是奇函数就是偶函数。
假若,波函数 是奇函数,则
- ,
- ,
- ,
由于整个波函数 必须满足连续性与连续可微性。在阱壁,两个波函数的函数值与导数值都必须相配:
-
-
将波函数的公式代入:
- ,(5)
- 。(6)
方程(6)除以方程(5),可以得到:
- 。
从方程(3)与(4),可以求得常数 与波数 的关系:
- 。
所以,波数是离散的,必须遵守以下方程:
- 。
这也造成了离散的能量。
假若,波函数 是偶函数,则
- ,
- ,
- ,
由于整个波函数 必须满足连续性与连续可微性。在阱壁,两个波函数的函数值与导数值都必须相配:
-
-
将波函数的公式代入:
- ,(7)
- 。(8)
方程(8)除以方程(7),可以得到:
- 。
从方程(3)与(4),可以求得常数 与波数 的关系:
- 。
所以,波数是离散的,必须遵守以下方程:
- 。
这也造成了离散的能量。
假若,一个粒子的能量大于位势, ,则这粒子不会被束缚于位势阱内。因此,在这里,粒子的量子行为主要是由位势阱造成的散射(scattering)行为。称这粒子的量子态为散射态。称这不被束缚的粒子为自由粒子。更强版的定义还要求位势为常数。假若,一维空间分为几个区域,只有在每个区域内,位势为常数;而在区域与区域之间,位势不相等,则称此粒子为半自由粒子。自由粒子和半自由粒子的能量大于位势, ,不会被束缚于位势阱内,能量不是离散能量谱的特殊值,而是大于或等于 的任意值。波数 ,用方程式表达为 ,也不是离散量。代入方程(1):
- ,
- 。
解答形式与阱内区域的解答形式相同:
- ,
- 。
其中, 、 、 、 ,都是常数。
- ^ Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics 2nd ed. Prentice Hall. 2005. ISBN 0-13-111892-7.