逐点收敛也称点态收敛(英语:pointwise convergence,或称简单收敛),是数学中描述一组函数序列向一个函数趋近的一种方式(函数趋近极限有其他不同方式,个中差异请小心分辨)。详细点讲,如果这组函数列在定义域中每点的取值都会趋于一个极限值,这时可以用每点的极限来定义这组函数序列的极限函数,被趋近的这个极限函数称作这个函数序列的逐点极限。在各种收敛中,逐点收敛较容易了解跟想象,但未必能很好地保持函数的一些重要性质,比如说连续性等等。
与逐点收敛经常一起出现的一个概念是一致收敛(英语:uniform convergence)。一致收敛的定义如下:
假设序列 中的函数跟函数 都有相同的定义域 。定义函数序列 一致收敛到 ,若数列
趋近于零,用符号表示就是: ,换句话讲也就是:
-
两相比较,一致收敛对于函数趋近的方式限制更大,所以一致收敛的函数序列必然逐点收敛,反之则不然。一个简单的例子是函数序列 ,让 ,则 逐点收敛到(不连续)函数
- ,
但并不一致收敛到该函数,因为对每个 , 皆为 1,所以
- 。
这说明了序列 并不一致收敛。
一致收敛能够保持函数序列的连续性,但逐点收敛不能。如上例, 序列 都在闭区间 上连续,但是 逐点收敛到的函数 并不是连续函数。
逐点收敛不要求序列 中函数的取值一定是实数,也可以是任何使其定义有意义的拓扑空间。但一致收敛函数的适用范围则相对较小,比如如果函数序列 的对应域仅是拓朴空间,那可能一致收敛的定义并无意义,所以一致收敛的对应域一般在度量空间。因为一致收敛定义中表达趋近的部分我们(部分的)利用了距离的概念(绝对值就是距离的概念),在这定义中无法被其他概念取代,相对来说逐点收敛中表达趋近的部分虽然也用了距离概念,但可以用拓朴空间中的开集合来取代,。
逐点收敛也可以理解为由半范数 建立的拓扑。具有这种拓扑的函数组成的空间叫做逐点收敛空间。这个拓扑与乘积拓扑是等价的。如果 的定义域和值域都是紧致的,根据吉洪诺夫定理,这个空间也是紧致的。