上極限和下極限

微積分學中,上極限和下極限(英語:Limit superior and limit inferior)是指數列極限的上極限和下極限,可以大致想像為數列極限的上下界。舉例來說,數列 的上極限為 1,下極限為 -1。 函數的上極限和下極限可以用類似方式考慮。[註 1]。集合的上極限和下極限分別是這個集合的極限點上確界下確界

上極限和下極限的示意圖。數列 xn 為藍色。兩個紅色虛線曲線逼近數列 xn 的上極限和下極限。數列的上下極限相等若且唯若此數列收斂

定義

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序列 的上極限定義是

 

或者

 

同樣的,序列 的下極限定義是

 

或者

 

這些定義在任意的偏序集都適用,只需要上確界下確界存在。 在完全格裡,上確界和下確界總是存在,所以其中的序列一定有上極限和下極限。

每當  都存在,那麼

 

上極限和下極限也記為  

實數數列

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實數集 R數列微積分很重要。R 不是完備格,但可以加入正負無窮以得到完備全序集  ,形成完備格。那麼在   中數列   收斂當且僅當  ,而這時   等於上面的共同值。[註 2]

若實數數列   的上極限為實數[註 3],那麼上極限是最小的實數 a,使得對任意小的正實數  ,都存在足夠大的正整數 N,使得對所有  ,都有  。換言之,對任何大於上極限的實數,都存在 N 使得這實數是數列  上界

若實數數列   的下極限為實數,那麼下極限是最大的實數 b,使得對任意小的正實數  ,都存在足夠大的正整數 N,使得對所有  ,都有  。換言之,對任何小於下極限的實數,都存在 N 使得這實數是數列  下界

  是整數數列。若其上極限為實數 a,由於   也符合上述條件,故此 a 必是整數。[註 4]在條件中取  ,得出 a 是最小的實數,使得存在正整數 N,對所有  ,都有  。因此 a 是最大的整數,使得有無限個  。同樣地,若其下極限為實數 b,則 b 是最小的整數,使得有無限個  

   ,那麼區間   不一定包含任何的  ,但是輕微擴大了的 [I-ε,S+ε] 對任意小的ε > 0都會包含除了有限項外所有的 xn。區間 [I, S] 是適合這個性質的最小閉區間。

例子

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  •  ,則  。閉區間[-1, 1]中不包含任何 
  • 考慮數列 。應用π無理數性質,可以證明  [註 5]
 
其中 是第 素數[註 6]

集的序列

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集合X冪集P(X)是完備格。對於P(X)中的序列,也就是X的子集的序列,其上下極限也有用處。

 是這樣的序列,那麼X的元素a屬於 ,當且僅當存在自然數 使得對於所有 a 裡。元素a屬於 ,當且僅當對所有自然數 ,都存在一個指數 使得a 裡。換句話說, 包含了所有這樣的元素,其中的每一個,都有無限多個n,使得它在集合 裡;而 包含了所有這樣的元素,其中的每一個,都有除了有限多個外的所有n,使得它在 裡。

以集合論的標準語言來說,一個集合序列的下確界是這些集合的可數交,也就是包含在所有集合裡的最大集合:

 

 為自 起的集合的下確界。那麼序列 非遞減,因為 。所以,第1至n個下確界的併集就是第n個下確界。下極限就是這序列的極限:

 

上極限可以相反方式定義。一個集合序列的上確界是包含這些集合的最小集合,也就是它們的可數並:

 

上極限是這個非遞增的上確界序列的可數交(其中每個上確界都包含在前一個裡面)。

 

例子或應用可見波萊爾-坎泰利引理柯西-阿達馬公式(Cauchy-Hadamard Formula)。

注釋

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  1. ^ 參見函數的極限
  2. ^ 注意當只是考慮 R 時,收斂至    並不當作收斂,而是視作極限不存在。
  3. ^ 即為有限,不是  
  4. ^   是不大於 a 的最大整數。
  5. ^ 數列 取mod 2π後在[0, 2π]中是稠密的,故得出結果。由等分佈定理可知這數列在區間中是等分佈的。
  6. ^ 下極限的值的猜測為2——這是孿生素數猜想。然而這個下極限是否為有限,是數論中長久以來的未解問題。直到2013年,張益唐首次證明下極限的值有限,並且小於7千萬。[1]截至2014年9月,下極限的值的上界已降至246。[2]由整數數列的下極限性質可知,有無限多的正整數n,使得 不大於246。

引用

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  • Amann, H.; Escher, Joachim. Analysis. Basel; Boston: Birkhäuser. 2005. ISBN 0817671536. 
  • González, Mario O. Classical complex analysis. New York: M. Dekker. 1991. ISBN 0824784154. 
  1. ^ Zhang, Yitang. Bounded gaps between primes. Annals of Mathematics. 2013-05-21 [2014-07-10]. (原始內容存檔於2014-03-11) (英語). 
  2. ^ Bounded gaps between primes. Polymath wiki. [2014-09-24]. (原始內容存檔於2013-06-20).