佩爾數

佩爾數是一個自古以來就知道的整數數列，由遞推關係定義，與斐波那契數類似。佩爾數呈指數增長，增長速率與白銀比的冪成正比。它出現在2的算術平方根的近似值以及三角平方數的定義中，也出現在一些組合數學的問題中。

定義

佩爾數由以下的遞推關係定義：

$P_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

也就是說，佩爾數的數列從0和1開始，以後每一個佩爾數都是前面的數的兩倍加上再前面的數。最初幾個佩爾數是：

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378…… （OEIS數列A000129）。

佩爾數也可以用通項公式來定義：

$P_{n}={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.$

對於較大的n，$\scriptstyle (1+{\sqrt {2}})^{n}$的項起主要作用，而$\scriptstyle (1-{\sqrt {2}})^{n}$的項則變得微乎其微。因此佩爾數大約與白銀比$\scriptstyle (1+{\sqrt {2}})$的冪成正比。

第三種定義是以下的矩陣公式：

${\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}.$

從這些定義中，可以推出或證明許多恆等式；例如以下的恆等式，與斐波那契數的卡西尼恆等式類似：

$P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{n},$

這個恆等式是以上矩陣公式的直接結果（考慮矩陣的行列式）。

2的算術平方根的近似值

佩爾數出現在2的算術平方根的有理數近似值中。如果兩個大的整數x和y 是佩爾方程的解：

$\displaystyle x^{2}-2y^{2}=\pm 1,$

那麼它們的比${\tfrac {x}{y}}$就是$\scriptstyle {\sqrt {2}}$的一個較精確的近似值。這種形式的近似值的數列是：

$1,{\frac {3}{2}},{\frac {7}{5}},{\frac {17}{12}},{\frac {41}{29}},{\frac {99}{70}},\dots$

其中每一個分數的分母是佩爾數，分子則是這個數與前一個佩爾數的和。也就是說，佩爾方程的解具有${\tfrac {P_{n-1}+P_{n}}{P_{n}}}$的形式。${\sqrt {2}}\approx {\frac {577}{408}}$是這些近似值中的第八個，在公元前3或4世紀就已經為印度數學家所知。公元前5世紀的古希臘數學家也知道這個近似值的數列；他們把這個數列的分母和分子稱為「邊長和直徑數」，分子也稱為「有理對角線」或「有理直徑」。

這些近似值可以從$\scriptstyle {\sqrt {2}}$的連分數展開式推出：

${\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}}.$

取這個展開式的有限個項，便可以產生$\scriptstyle {\sqrt {2}}$的一個近似值，例如：

${\frac {577}{408}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2}}}}}}}}}}}}}}.$

素數和平方數

佩爾素數是既是佩爾數又是素數的數。最初幾個佩爾素數是：

2, 5, 29, 5741, …… （OEIS數列A086383）。

與斐波那契素數相似，僅當n本身是素數時$P_{n}$才有可能是素數。

唯一的既是佩爾數又是平方數、立方數或任意整數次方的數是0, 1, 以及169 = 13²。

然而，佩爾數與三角平方數有密切的關係。它們出現在以下佩爾數的恆等式中：

${\bigl (}(P_{k-1}+P_{k})\cdot P_{k}{\bigr )}^{2}={\frac {(P_{k-1}+P_{k})^{2}\cdot \left((P_{k-1}+P_{k})^{2}-(-1)^{k}\right)}{2}}.$

等式的左面是平方數，等式的右面是三角形數，因此是三角平方數。

Santana和Diaz-Barrero在2006年證明了佩爾數與平方數之間的另外一個恆等式，並證明了從$P_{1}$到$P_{4n+1}$的所有佩爾數的和總是平方數：

$\sum _{i=0}^{4n+1}P_{i}=\left(\sum _{r=0}^{n}2^{r}{2n+1 \choose 2r}\right)^{2}=(P_{2n}+P_{2n+1})^{2}.$

例如，從$P_{1}$到$P_{5}$的和是$0+1+2+5+12+29=49$，是$P_{2}+P_{3}=2+5=7$的平方。$P_{2n}+P_{2n+1}$就是這個和的平方根：

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, …… （OEIS數列A002315）。

勾股數

邊長為整數的直角三角形，其直角邊幾乎相等，由佩爾數引出。

如果一個直角三角形的邊長為a、b和c（必須滿足勾股定理a²+b²=c²），那麼(a,b,c)稱為勾股數。Martin在1875年描述，佩爾數可以用來產生勾股數，其中a和b相差一個單位。這個勾股數具有以下形式：

$(2P_{n}P_{n+1},P_{n+1}^{2}-P_{n}^{2},P_{n+1}^{2}+P_{n}^{2}=P_{2n+1}).$

用這種方法產生的勾股數的序列是：

(3,4,5), (20,21,29), (119,120,169), (696,697,985), ……

佩爾-盧卡斯數

佩爾-盧卡斯數由以下的遞推關係定義：

$Q_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\2&{\mbox{if }}n=1;\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}&{\mbox{otherwise.}}\end{cases}}$

也就是說，數列中的最初兩個數都是2，後面每一個數都是前一個數的兩倍加上再前面的一個數。這個數列的最初幾個項是（OEIS數列A002203）：2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478……

佩爾-盧卡斯數的通項公式為：

$Q_{n}=(1+{\sqrt {2}})^{n}+(1-{\sqrt {2}})^{n}.$

這些數都是偶數，每一個數都是以上$\scriptstyle {\sqrt {2}}$的近似值中的分子的兩倍。

參考文獻

• Bicknell, Marjorie. A primer on the Pell sequence and related sequences. Fibonacci Quarterly. 1975, 13 (4): 345–349. MR0387173. 
• Cohn, J. H. E. Perfect Pell powers. Glasgow Mathematical Journal. 1996, 38 (1): 19–20. MR1373953. 
• Dutka, Jacques. On square roots and their representations. Archive for History of Exact Sciences. 1986, 36 (1): 21–39. doi:10.1007/BF00357439. MR0863340. 
• Ercolano, Joseph. Matrix generators of Pell sequences. Fibonacci Quarterly. 1979, 17 (1): 71–77. MR0525602. 
• Filep, László. Pythagorean side and diagonal numbers (PDF). Acta Mathematica Academiae Paedagogiace Nyíregyháziensis. 1999, 15: 1–7 [2008-09-18]. （原始內容 (PDF)存檔於2020-07-06）. 
• Horadam, A. F. Pell identities. Fibonacci Quarterly. 1971, 9 (3): 245–252, 263. MR0308029. 
• Kilic, Emrah; Tasci, Dursun. The linear algebra of the Pell matrix. Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, Tercera Serie. 2005, 11 (2): 163–174. MR2207722. 
• Knorr, Wilbur. Archimedes and the measurement of the circle: A new interpretation. Archive for History of Exact Sciences. 1976, 15 (2): 115–140. doi:10.1007/BF00348496. MR0497462. 
• Knorr, Wilbur. "Rational diameters" and the discovery of incommensurability. American Mathematical Monthly. 1998, 105 (5): 421–429. doi:10.2307/3109803. 
• Knuth, Donald E. Leaper graphs. The Mathematical Gazette. 1994, 78: 274–297. doi:10.2307/3620202. arXiv:math.CO/9411240. 
• Martin, Artemas. Rational right angled triangles nearly isosceles. The Analyst. 1875, 3 (2): 47–50 [2008-09-18]. doi:10.2307/2635906. （原始內容存檔於2022-05-25）. 
• Pethő, A. The Pell sequence contains only trivial perfect powers. Sets, graphs, and numbers (Budapest, 1991). Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 60, North-Holland: 561–568. 1992. MR1218218. 
• Ridenhour, J. R. Ladder approximations of irrational numbers. Mathematics Magazine. 1986, 59 (2): 95–105 [2008-09-18]. （原始內容存檔於2019-09-29）. 
• Santana, S. F.; Diaz-Barrero, J. L. Some properties of sums involving Pell numbers (PDF). Missouri Journal of Mathematical Sciences. 2006, 18 (1) [2008-09-18]. （原始內容 (PDF)存檔於2007-05-08）. 
• Sellers, James A. Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers (PDF). Journal of Integer Sequences. 2002, 5 [2008-09-18]. MR1919941. （原始內容 (PDF)存檔於2020-07-05）. 
• Sesskin, Sam. A "converse" to Fermat's last theorem?. Mathematics Magazine. 1962, 35 (4): 215–217. 
• Thibaut, George. On the Súlvasútras. Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal. 1875, 44: 227–275. 
• Thompson, D'Arcy Wentworth. III.—Excess and defect: or the little more and the little less. Mind: New Series. 1929, 38 (149): 43–55 [2008-09-18]. （原始內容存檔於2019-10-13）. 
• Vedova, G. C. Notes on Theon of Smyrna. American Mathematical Monthly. 1951, 58 (10): 675–683. doi:10.2307/2307978. 

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Pell Number. MathWorld.